共极线之广义根轴引发点列成位似变换问题

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点 $P$ 是椭圆 $\Gamma: \frac{x^2}{5}+\frac{y^2}{4}=1$ 上一动点，$\odot M: x^2+y^2=1$ 与 $Y$ 轴正半轴交点为 $A$，点 $B\left(0, \frac{1}{2}\right)$．直线 $P A$ 交 $\Gamma$ 于点 $C$，直线 $P B$ 交 $\odot M$ 于点 $D$（D 不在点 $P, B$ 之间）．

• 直线 DC 所过定点 $I$；
• 直线 $l: y=4$ 交 $D C$ 于 $H$ 点（$\overrightarrow{D C}$ 和 $\overrightarrow{D H}$ 同向），是否存在常数 $\lambda$，使得 $\frac{\lambda}{IC}=\frac{3}{IH}+\frac{2}{ID}$ 恒成立？

第一问已经用几何方法证明了大家看看第二问能不能找到射影背景或者比较简单的解析几何法
第二问等价于HP过定点

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再增加第三问:
直线ID和圆M的另一个交点为E点，过点I的直线JK与直线ID的斜率互补，且J,K二点在椭圆Γ上,
二直线DJ,KE的交点为Q点.证明:Q点过定直线m，并且二直线IQ,IJ的斜率之比为定值.

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是个复杂的射影变换问题，图中C，D属于同一个射影变换，还有几组其他的点列也属于射影变换

kuing

看图让我想起了这帖：forum.php?mod=viewthread&tid=10476 不知有没有关联

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kuing 发表于 2025-4-10 16:32
看图让我想起了这帖：forum.php?mod=viewthread&tid=10476 不知有没有关联

是的，本题是在此题的基础上继续探究广义根轴的性质多增加了两问。第一问已经通过几何法做出了。

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lxz2336831534 发表于 2025-4-10 01:43
在增加第三问:
直线ID和圆M的另一个交点为E点，过点I的直线JK与直线ID的斜率互补，且J,K二点在椭圆Γ上,
二 ...

图中两个Q点成透视对应

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   此题第一问，从广义根轴上作两个二次曲线的切线，通过点在二次曲线上的透视得出两个交比相等且为定值的线束，得出CD过的定点。
   此题二三问，于广义根轴有关，射影到两个圆的情况，由根轴的性质可以得出两组位似关系，结合线段比例转化为交比，再射影变换，可得出第二问
   第三问与两条根轴密切相关，此时与两条广义根轴对应的广义等幂点确定一个对合变换，从而引出共极点的问题，最终用完全四边形的性质结合射影对应，得出两个Q点在广义根轴上。
    有复杂的射影对应过程和系列对合变换与射影变换的复合，于是弄不清了
    但是由广义根轴引发的问题，性质太多，也研究不清。比如把题中的广义根轴y²=16换成x²=25或者-25，也有一系列结论，不过这时有很多点到线，点到点的变换，二次点到一次点的变换等等要扩展到射影复平面，由于作者水平有限，无法继续深入挖掘。
   广大群众的智慧如同浩瀚星空，深邃而无限。作者深信，三人行必有我师焉，集思广益不仅能够破解一切问题，更孕育着无尽的智慧之花，供世人采摘与利用。探索自然的奥秘，犹如拨云见日，豁然开朗，是一段充满艰辛与奇趣的旅程。揭开这些奥秘，胜似得到世间的瑰宝，心头会涌上一股无法言喻的成就感。作者认为，热爱自然真理的人，必将在这条探索之路上，享受那份无与伦比的成就感与耐人寻味的探索过程，品味着每一步的智慧与启迪。
    夜深了，不聊了，作者将继续在无尽的真理宇宙中观光旅行。