高中市统考解析几何，常规做法运算量巨大，求妙解

maomaoxiangcao

椭圆 $\Gamma:\frac {x^2} 9+y^2=1$，过 $(3,1)$ 的动直线 $l$ 与 $\Gamma$ 交于 $A,B$ 两点，问：是否存在定点 $N$，使得 $k_{NA}k_{NB}$ 为定值，若存在，求 $N$ 点的坐标。

答案的做法是直接设直线 $y-1=k(x-3)$，表示出 $k_{NA}*k_{NB}$，再以 $k$ 的次数进行整理，最后的答案是 $(\frac 3 2,\frac 1 2),(\frac {3\sqrt 2} 2,-\frac {\sqrt 2} 2),(-\frac {3\sqrt 2} 2,\frac {\sqrt 2} 2)$，正如标题所说，这种常规做法运算量很大。

然后我又尝试了齐次化，发现同样很复杂，主要是 $N$ 还不一定在 $\Gamma$ 上。

不知道各位高手能不能给出一些妙解，实在没有高中大题做法的话，稍微超纲一点的也可以接受。

kuing

我也只会暴算😥

以前研究过这类问题，记动直线过的定点为 P，所求定点为 Q，一般结果是有三个 Q，两个在 `\Gamma` 上且 `k_{OQ}=-k_{OP}`，另一个在 P 对 `\Gamma` 的极线上，但具体位置有什么特殊性质暂时未知。

看有没有射影几何高手来用高级方法来解，对合之类的，我完全不会

mapway

可以利用简单的坐标变换将椭圆变为圆，因为在仅有坐标
平移和缩放时对直线斜率的影响就是乘了一个固定的因子。
对于圆的情况，是可以通过纯几何方法构造所求的点。
如图所示：
P为圆O（Г）外一定点，过P的任意直线和圆交于A、B。
以OP为直径作圆，和Г交于C、D，和坐标轴交于E、F，
过P作EF的垂线和直线CD交于N，则有K(AN)*K(BN)=定值。