过椭圆内一点P(s，t)的两弦AB和CD的斜率积为λ，则中点连线经过定点

其妙

经过椭圆内一点P(s，t)的两弦AB和CD，如果他们的斜率之积等于常数λ，那么这两条弦AB和CD的中点分别为M和N，则线段MN经过一个定点，能求出这个定点的坐标是多少吗？如果改成两弦AB和CD的斜率之和等于常数λ，则中点连线段MN经过一个定点吗，这个定点的坐标是多少

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是的

kuing

没给椭圆方程？那斜着放行不行？

其妙

kuing 发表于 2025-4-19 15:49
没给椭圆方程？那斜着放行不行？

椭圆的方程为$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1$，题目为：
经过椭圆$\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$内一点$P(s，t)$的两弦$AB$和$CD$，如果他们的斜率之积等于常数$λ$，那么这两条弦$AB$和$CD$的中点分别为$M$和$N$，则线段$MN$经过一个定点，能求出这个定点的坐标是多少吗？如果改成两弦$AB$和$CD$的斜率之和等于常数λ，则中点连线段$MN$经过一个定点吗，这个定点的坐标又是多少?

kuing

暴算就行了，直接计算一般的二次曲线的结论。

先考虑 `P` 为原点的情形：

二次曲线 `\Gamma`: `ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0`，过 `P(0,0)` 的两直线 `y=k_1x`, `y=k_2x` 与 `\Gamma` 交于 `AB` 和 `CD`，取 `AB` 中点 `M` 及 `CD` 中点 `N`。

联立韦达不难计算出
\begin{gather*}
M\left(-\frac12\cdot\frac{d+ek_1}{a+bk_1+ck_1^2},-\frac{k_1}2\cdot\frac{d+ek_1}{a+bk_1+ck_1^2}\right),\\
N\left(-\frac12\cdot\frac{d+ek_2}{a+bk_2+ck_2^2},-\frac{k_2}2\cdot\frac{d+ek_2}{a+bk_2+ck_2^2}\right),
\end{gather*}
于是可写出直线 `MN` 的方程，并最终整理为
\begin{align*}
&d^2+2adx+2bdy-2aey\\
&+(k_1+k_2)(de+2aex+2cdy)\\
&+k_1k_2(e^2-2cdx+2bex+2cey)=0.\quad(*)
\end{align*}

（1）若 `k_1k_2=\lambda` 为定值，则令
\[\led
d^2+2adx+2bdy-2aey+\lambda(e^2-2cdx+2bex+2cey)&=0,\\
de+2aex+2cdy&=0,
\endled\]
解得
\[(x,y)=\left(-\frac12\cdot\frac d{a-\lambda c},\frac\lambda2\cdot\frac e{a-\lambda c}\right),\]
这就是 `MN` 过的定点；

（2）若 `k_1+k_2=\mu` 为定值，则令
\[\led
d^2+2adx+2bdy-2aey+\mu(de+2aex+2cdy)&=0,\\
e^2-2cdx+2bex+2cey&=0,
\endled\]
解得
\[(x,y)=\left(-\frac12\cdot\frac e{b+\mu c},-\frac12\cdot\frac{d+\mu e}{b+\mu c}\right),\]
这就是 `MN` 过的定点；

还可再加一问：
（3）若 `k_1k_2` 与 `k_1+k_2` 满足 `k_1+k_2=\lambda k_1k_2+\mu`，则代入式 (*) 中按 `k_1k_2` 整理，然后令那两项（懒得具体写出，反正你应该懂我意思）为零，解得
\[(x,y)=\left(-\frac12\cdot\frac{\lambda d+e}{\lambda a+b+\mu c},-\frac12\cdot\frac{d+\mu e}{\lambda a+b+\mu c}\right),\]
这就是 `MN` 过的定点。


当 `P(s,t)` 不是原点时：

平移坐标系，使 `P` 为到原点，则 `\Gamma` 变成 `a(x+s)^2+b(x+s)(y+t)+c(y+t)^2+d(x+s)+e(y+t)+f=0`，展开整理为
\[ax^2+bxy+cy^2+d'x+e'y+f'=0,
\quad\text{其中}~\led
d'&=d+2as+bt,\\
e'&=e+bs+2ct,\\
f'&=\cdots,
\endled\]
（`f` 与定点无关所以不用写）则前面三种类型的定点就是将 `d`, `e` 替换为上述 `d'`, `e'` 即可。

最后再平移坐标系，还原为初始，即得三种类型的定点分别为
\begin{align*}
\text{（1）}&\left(-\frac12\cdot\frac{d'}{a-\lambda c}+s,\frac\lambda2\cdot\frac{e'}{a-\lambda c}+t\right);\\
\text{（2）}&\left(-\frac12\cdot\frac{e'}{b+\mu c}+s,-\frac12\cdot\frac{d'+\mu e'}{b+\mu c}+t\right);\\
\text{（3）}&\left(-\frac12\cdot\frac{\lambda d'+e'}{\lambda a+b+\mu c}+s,-\frac12\cdot\frac{d'+\mu e'}{\lambda a+b+\mu c}+t\right).
\end{align*}

lxz2336831534

M，N同在一个圆锥曲线α上。如果MN过定点，设该定点的极线交椭圆α于P,Q两个复点，则α上PQ二点调和分割MN二点，所以从α上一点U作线束U(M,N,P,Q)，用斜率表示交比，化简可得UM，UN斜率的对合双线性方程。