|
|
命题：抛物线内一定点 `P`，弦 `AB`, `CD` 过 `P` 且互相垂直，`AB`, `CD` 的中点为 `M`, `N`，抛物线对称轴与 `MN` 交于 `K`，则 `K` 为定点。
看以下证明前请先熟悉 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=6808 中的性质。
证明：记 `l_P` 为 `P` 的极线，过 `M`, `N` 作对称轴的平行线交抛物线于 `M_1`, `N_1`，交 `l_P` 于 `M_2`, `N_2`，对称轴交 `l_P` 于 `J`，如上图所示。
由极点极线性质知 `A`, `B` 两处的切线的交点在 `l_P` 上，而根据链接中的性质（1）知该交点在直线 `MM_1` 上，所以该交点就是 `M_2`，于是根据链接中的性质（2）知 `M_1` 为 `MM_2` 中点，同理 `N_1` 为 `NN_2` 中点。
根据链接中的性质（3）知 `M_1` 处的切线平行于 `AB`，`N_1` 处的切线平行于 `CD`，故此 `M_1`, `N_1` 两处的切线互相垂直，所以 `M_1N_1` 过焦点 `F`，结合刚才推出的 `M_1`, `N_1` 为 `MM_2`, `NN_2` 中点，可见 `F` 也为 `JK` 中点，而 `J`, `F` 均为定点，从而 `K` 为定点。 |
|
