用过直线与抛物线交点的圆系折腾

isee

源自知乎提问

题：已知直线 $l:y=k(x+1)$ 与抛物线 $C:y^2=4x$ 有两个不同的交点 A，B，若以 AB 为直径的圆恰好过抛物线 C 的焦点，则 k 的值为______.


应该是一道陈题.


若从曲线系的角度，可以试试过两直线 $y^2=(kx+k)^2$ 与抛物线 C 交点的二次曲线系\[\lambda\big(y^2-4x\big)+y^2-(kx+k)^2=0,\]不过，上式若为圆则由圆的一般式知圆心在 x 轴上，与 AB 为直径的圆不能总相符，于是需要调整，即将直线方程 l "带上" (其中 $\lambda,\mu$ 为任意实数)：\begin{gather*}
{\color{blue}{\lambda\big(y^2-4x\big)+y^2-(kx+k)^2+\mu (y-kx-k）=0}},\\[1ex]
k^2x^2-(1+\lambda)y^2+(4\lambda+2k^2+\mu k)x-\mu y+k^2+\mu k=0,
\end{gather*}此曲线为圆则 $-k^2=1+\lambda,$ 过点 (1,0) 则 $4k^2+4\lambda+2uk=0,$ 这两式联立可得 $\mu k=2.$

此圆的圆心 $\big(-\frac{2\lambda+k^2+\frac12\mu k}{k^2},\frac \mu{2k^2}\big)$ 在直线 $l$ 上 \[-k\cdot\frac{2\lambda+k^2+\frac12\mu k}{k^2}+k=\frac \mu{2k^2},\] 将 $u=\frac2k,\,\lambda=-k^2-1$ 代入整理得 $k^2+1+k^2=\frac1{k^2}$ ，所以 $(k^2+1)(2k^2-1)=0$ 即 $k=\pm\frac{\sqrt 2}2.$

此讨论并没有保证直线与抛物线一定相交于两点，故而需要检验：计算后知 $l:y=\pm\frac{\sqrt 2}2(x+1)$ 与抛物线 C 相交，且为 AB 为直径的圆过焦点.

PS：以上“过直线与抛物线交点的圆系”还不如直接联立后，再利用韦达定理直接出结果来得痛快.

乌贼

如图：
\[ \dfrac{PD}{AD}=\dfrac{PC}{BC}\riff \dfrac{AQ}{AF}=\dfrac{BE}{BF}\riff \triangle AFQ\sim \triangle BFE\riff \angle AFQ=\angle BFE \]有\[ \angle AFQ=45\du  \]故\[ K=\tan \angle APQ=\dfrac{AQ}{PQ}=\dfrac{AQ}{AF}=\dfrac{\sqrt{2}}{2} \]
不会输入正负符号

hbghlyj

乌贼 发表于 2023-5-31 17:56
不会输入正负符号

\pm

kuing

乌贼 发表于 2023-6-1 00:56
如图：
\[ \dfrac{PD}{AD}=\dfrac{PC}{BC}\riff \dfrac{AQ}{AF}=\dfrac{BE}{BF}\riff \triangle AFQ\sim \t ...

几何解法我相信楼主也会，他这帖显然只是记录一下折腾曲线系😁