椭圆上任一点的切线与两坐标轴围成三角形面积最小值

isee

源自知乎提问


题：过曲线 $3x^2+2xy +3y^2=1$ 上任意一点作曲线的切线，求切线与坐标轴所围成三角形面积最小值.

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由隐函数求导法则 \[6x+(2y+2xy')+6yy'=0\Rightarrow y'=-\frac{3x+y}{x+3y},\] 设切点为 $(x_0,y_0)$ ，$3x_0^2+2x_0y_0+3y_0^2=1$ ，切线斜率 $k=-\frac{3x_0+y_0}{x_0+3y_0},$ 所以切线方程为 \begin{gather*}
y-y_0=-\frac{3x_0+y_0}{x_0+3y_0}(x-x_0),\\[1ex]
\big(3x_0+y_0)x+\big(x_0+3y_0)y=3x_0^2+2x_0y_0+3y_0^2=1,
\end{gather*} 令 $x=0$ ，得 $y=\frac1{x_0+3y_0}$ ；令 $y=0$ ，得 $x=\frac1{3x_0+y_0}$ ，所以切线与坐标轴围成三角形的面积为 \begin{align*}
S_{\triangle}&=\frac12\left|\frac1{3x_0+y_0}\cdot\frac{1}{x_0+3y_0}\right|\\[1ex]
&=\frac12\left|\frac1{3x_0^2+10x_0y_0+3y_0^2}\right|\\[1ex]
&=\frac1{2\left|8x_0y_0+1\right|},
\end{align*} 对 $3x_0^2+2x_0y_0+3y_0^2=1$ 用均值不等式得到 \[1=3x_0^2+3y_0^2+2x_0y_0\geqslant 6x_0y_0+2x_0y_0=8x_0y_0,\]也有 \[1=3x_0^2+3y_0^2+2x_0y_0\geqslant -6x_0y_0+2x_0y_0=-4x_0y_0,\] 即得到 \[-\frac14\leqslant x_0y_0\leqslant\frac18.\] 从而知 \begin{align*}
S_{\triangle}=\frac1{2\left|8x_0y_0+1\right|}\geqslant \frac1{2\left|1+1\right|}=\frac14
\end{align*} .

当且仅当 $x_0=y_0=\pm\frac{\sqrt2}2$ 时过曲线上任意一点的切线与坐标轴围成三角形的面积最小值为 1/4.

kuing

我有一个想法，不知怎么表达才好。

首先易知该曲线是椭圆，可写成 `4x^2+4y^2=1+(x-y)^2\geqslant1`，即椭圆恒在圆 `x^2+y^2=1/4` 的外部，仅 `x=y` 处相切，或者说圆 `x^2+y^2=1/4` 是该椭圆的内切圆，则椭圆切线的那啥最小面积 `\ge` 内切圆切线的那啥最小面积，而圆的就简单了，也是在 `x=y` 时最小，所以……