AB是圆O的对径点，C,D的切线交于点E， AD,BC交点M，延长EM交AB于点N,求证CNDE共圆

zhiwen

如图, AB是圆O的对径点，圆O上C,D的切线交于点E，
连结AD,BC交于点M，延长EM交AB于点N。
求证：C,N,D,E共圆

kuing

由切线长相等知 `EC=ED`，下面先证明 `EM` 也等于这两条切线长。

如上图，假设 `EM<EC`，则有 `\angle1>\angle2=\angle3`，而 `\angle1+\angle4=180\du`，所以 `\angle3+\angle4<180\du`，而 `\angle MCA=90\du`，于是 `\angle MNA>90\du`。

同理由 `EM<ED` 可推出 `\angle MNB>90\du`，于是这就矛盾了。

假设 `EM>EC`，则类似地也可推出 `\angle MNA<90\du` 且 `\angle MNB<90\du`，还是矛盾。

综上得 `EM=EC=ED`。

于是 `\angle1=\angle2=\angle3`，所以 `ACMN` 共圆，因此 `MN\perp AB`。

然后有 `\angle EDC=\angle CAD=\angle CNM`，所以 `CNDE` 共圆。

hbghlyj

forum.php?mod=viewthread&tid=1434

isee

哇，弧终于能显示了，PS:10年前了……

kuing

isee 发表于 2023-11-5 00:13
哇，弧终于能显示了，PS:10年前了……

是 hbghlyj 在那帖的 1# 点评里加了句

1. $\def\wideparen{\overparen}$

Copy the Code

把你当时写的 \wideparen 强行变成了 \overparen

两个字母看着还行，三个就不咋嘀，$\overparen{ABC}$效果 $\overparen{ABC}$

TSC999

用复平面上的解析几何方法做此题比较省事：