AB是圆O的对径点，C,D的切线交于点E， AD,BC交点M，延长EM交AB于点N,求证CNDE共圆

zhiwen · Posted at 2023-11-4 21:21:58

Last edited by kuing at 2024-1-13 00:11:00

如图, AB是圆O的对径点，圆O上C,D的切线交于点E，
连结AD,BC交于点M，延长EM交AB于点N。
求证：C,N,D,E共圆

kuing · Posted at 2023-11-4 23:02:50

Last edited by kuing at 2023-11-5 21:46:00由切线长相等知 `EC=ED`，下面先证明 `EM` 也等于这两条切线长。
QQ截图20231104230202.png

如上图，假设 `EM<EC`，则有 `\angle1>\angle2=\angle3`，而 `\angle1+\angle4=180\du`，所以 `\angle3+\angle4<180\du`，而 `\angle MCA=90\du`，于是 `\angle MNA>90\du`。

同理由 `EM<ED` 可推出 `\angle MNB>90\du`，于是这就矛盾了。

假设 `EM>EC`，则类似地也可推出 `\angle MNA<90\du` 且 `\angle MNB<90\du`，还是矛盾。

综上得 `EM=EC=ED`。

于是 `\angle1=\angle2=\angle3`，所以 `ACMN` 共圆，因此 `MN\perp AB`。

然后有 `\angle EDC=\angle CAD=\angle CNM`，所以 `CNDE` 共圆。

hbghlyj · Posted at 2023-11-4 23:43:03

Last edited by hbghlyj at 2023-11-5 14:45:00kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=1434

isee · Posted at 2023-11-5 00:13:19

Last edited by kuing at 2023-11-5 22:25:00哇，弧终于能显示了，PS:10年前了……

kuing · Posted at 2023-11-5 00:18:29

Last edited by kuing at 2023-11-5 22:26:00

isee 发表于 2023-11-5 00:13
哇，弧终于能显示了，PS:10年前了……

是 hbghlyj 在那帖的 1# 点评里加了句

$\def\wideparen{\overparen}$

Copy the Code

把你当时写的 \wideparen 强行变成了 \overparen

两个字母看着还行，三个就不咋嘀， $\overparen{ABC}$ 效果 $\overparen{ABC}$

TSC999 · Posted at 2023-11-6 12:01:14

用复平面上的解析几何方法做此题比较省事：
老题目解答.png

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[几何] AB是圆O的对径点，C,D的切线交于点E， AD,BC交点M，延长EM交AB于点N,求证CNDE共圆

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