圆内接四边形求证$\angle AFC=90$°

力工

已知四边形$ABCD$内接于$\odot O$,对角线相交于点$E$,点$F$在对角线$BD$上，
且$AB=AC,AF=AD,EF=2DE$, 求证$\angle AFC=90$°

力工

高人们伸手拉拉我一把。我的做法太烦了，一个全等，三次相似，太难了。延长$AF$交$BC$于$M$,取$FC$的中点$N$，证明出$FN=FM$.

Aluminiumor

设 $\angle ABC=\angle ACB=\angle ADF=\angle AFD=\theta$
    $\angle CAD=\angle BAF=\angle CBF=\varphi$，圆的半径为 $1$.
易知
$AB=AC=2\sin\theta,AD=AF=2\sin(\theta-\varphi),BC=2\sin2\theta$

在 $\triangle{ABF}$ 中，$\dfrac{BF}{\sin\varphi}=\dfrac{AF}{\sin(\theta-\varphi)}\Longrightarrow BF=2\sin\varphi$

在 $\triangle{BCE}$ 中，$\dfrac{BE}{\sin\theta}=\dfrac{BC}{\sin(\theta+\varphi)}\Longrightarrow BE=\dfrac{2\sin\theta\sin2\theta}{\sin(\theta+\varphi)}$

在 $\triangle{ADE}$ 中，$\dfrac{DE}{\sin\varphi}=\dfrac{AD}{\sin(\theta+\varphi)}\Longrightarrow DE=\dfrac{2\sin(\theta-\varphi)\sin\varphi}{\sin(\theta+\varphi)}$

由 $EF=BE-BF=2DE$，得
$\sin\theta\sin2\theta=\sin\varphi\sin(\theta+\varphi)+2\sin\varphi\sin(\theta-\varphi)$
即 $3\sin\varphi\cos\varphi\tan\theta-\sin^2\varphi=2\sin^2\theta$

要证明的即 $AC\cdot\cos\angle CAF=AF$
$\Longleftrightarrow \sin(\theta-\varphi)=\sin\theta\cos(\pi-2\theta-\varphi)$
$\Longleftrightarrow \tan\varphi=\dfrac{2t}{3t^2+1}\text{ (令 }t=\tan\theta\text{ )}$
$\Longleftrightarrow 3t\cdot\dfrac{\tan\varphi}{1+\tan^2\varphi}-\dfrac{\tan^2\varphi}{1+\tan^2\varphi}=\dfrac{2t^2}{t^2+1}\text{ (自行验算)}$
$\Longleftrightarrow 3\sin\varphi\cos\varphi\tan\theta-\sin^2\varphi=2\sin^2\theta$
得证.