圆的切割线

力工

已知$AB、CD$为圆的切线，$AD、BC$交于圆上一点，$AB=8,CD=5$,求$AC$.
怎么不能传图了？

uk702

如图，假设 AB//CD 且与直径垂直。作 CE⊥AB，于是有 AE=3，BE=5，
令 $AC=x$，则 $ BD^2 = x^2-AE^2 = x^2 -9$，
易知 CB⊥AD，∴ $CD^2 + AB^2 = AC^2 + BD^2$
∴ $25 + 64 = x^2 + x^2 - 9$
∴ $x^2 = 49$
∴ $AC = x =7$

kuing

考虑一般化的数字：

如上图标记的长度，在 `\triangle ABC` 中，由斯特瓦尔特定理，有
\[z^2\left(\frac{n^2}y-y\right)+m^2y=\frac{n^2}y\left(y\left(\frac{n^2}y-y\right)+x^2\right),\]
化简为
\[z^2-n^2+\frac{m^2+n^2-z^2}{n^2}\cdot y^2-x^2=0,\]
同理可得在 `\triangle CAD` 中有
\[z^2-m^2+\frac{m^2+n^2-z^2}{m^2}\cdot x^2-y^2=0,\]
两式消去 `y` 并化简
\begin{gather*}
z^2-n^2+\frac{m^2+n^2-z^2}{n^2}\cdot\left(z^2-m^2+\frac{m^2+n^2-z^2}{m^2}\cdot x^2\right)-x^2=0,\\
z^2-n^2+\frac{m^2+n^2-z^2}{n^2}(z^2-m^2-n^2+n^2)+\frac{(m^2+n^2-z^2)^2}{m^2n^2}\cdot x^2-x^2=0,\\
m^2-\frac{(m^2+n^2-z^2)^2}{n^2}+\frac{(m^2+n^2-z^2)^2}{m^2n^2}\cdot x^2-x^2=0,\\
(m^2-x^2)\left(1-\frac{(m^2+n^2-z^2)^2}{m^2n^2}\right)=0,
\end{gather*}
由图知 `x\ne m`，所以有
\[\abs{m^2+n^2-z^2}=mn,\]
所以
\[z=\sqrt{m^2+n^2\pm mn},\]
两解分别对应两种不同的情况：

主楼属于中间是减号的情况，所以 `AC=\sqrt{8^2-5\cdot8+5^2}=7`。

kuing

结论这么好看，肯定有简洁的解法，等几何大佬来😊

uk702

转自 tieba.baidu.com/p/8865604651

如图，过 D、E 分别作 BC 的平行线交CE、BD于G、F，
易知 DGCB、FECB 均是等腰梯形，
∠FEB=∠EBC=∠ECA（EC是切线）=∠GCA
故有 △EFB∽△CGD
∴EF/BF=CG/DG
∴EF×DG=BF×CG=CE×BD

又 DE^2=DF^2 + EF^2 - 2 × EF × DF  × cos∠DFE
            = DF^2 + EF×(EF - 2 DF × cos ∠DFE)
            = DF^2 + EF×DG
            = (BD-CE)^2 + BD × CE
           = BD^2 - BD×CE  + CE^2
           = BD^2 + CE^2 - 2 BD × CE × cos60°