动圆内接动三角形的面积最值问题

力工

已知边长$BC=3$的$\triangle ABC$内接于$\odot O,E$在边$AB$上,且$AE=2BE,OE\perp AC$于点$F$,求$\triangle ABC$面积的最大值。

战巡

连$EC$，显然$EC=AE=2BE$，而$BC=3$为定值，这个说明$E$点在到$\frac{EB}{EC}=\frac{1}{2}$的阿氏圆上

针对$BC=3$，不难得到这样的阿氏圆半径为$\frac{3\cdot 2}{2^2-1}=2$，而且圆心在$BC$直线上，最大面积即为这个圆到$BC$距离最大时取得，其实就是半径$2$，此时$S_{\Delta BEC}=\frac{1}{2}\cdot 3\cdot 2=3$
\[S_{\Delta ABC}=3S_{\Delta EBC}=9\]