△ABC各边长是 4,5,6。如何作一个内接正三角形? 何时正三角形边长最短？何时最长？

TSC999

三角形 ABC 的各边长是 AB=5，BC=4，CA=6。如何作一个内接正三角形 DEF ？
什么时候正三角形边长最短？什么时候最长？

TSC999

最大边长的求法如上图：从 $B$ 点作射线使 $\angle F B C=60^{\circ}$，射线与 $A C$ 交于 $F$ 点。则 $B F$ 即是正三角形的最大边长。此时正三角形的一边 BE 与 BC 重合。正三角形 DEF 的顶点 $D$ 与 $B$ 点重合。
\[\frac{BF}{\sin \angle A}=\frac{AF}{\sin (\angle ABC-60^{\circ})}, AF^2=AB^2+BF^2-2 \times AB \times BF \cos (\angle ABC-60^{\circ})\]
其中 $\angle ABC=\arccos \frac{5 / 8}{5}=\arccos \frac{1}{8}$
\[\angle A=\arccos \frac{5^2+6^2-4^2}{2 \times 5 \times 6} ; AB=5\]
解此方程组得正三角形边长的最大值为 $BF=\frac{10}{17}(9 \sqrt{21}-35) \approx 3.67245956153 \ldots$

TSC999

内 接 正 三 角 形 的 最 小 边 长 如 下 图。当 \(BE≈1.698 时\)，正 三 角 形 边 长 取 到 最 小 值 \(2.324545\)

以 上 是 数 值 计 算 的 结 果，最 小 边 长 的 理 论 值 还 没 有 找 到。

TSC999

$λ$ 即 BE 的长度。$θ$ 即 ∠FEC，DE 即正三角形的边长。

$\lambda$	DE	$\theta$(度)
1.1	2.8810163565700	0.5589394	角度已变得不正常
1.12415	2.4671015039683	49.696607116500
1.12420	2.4670773842534	49.698182660904
1.2	2.4326883451388
1.3	2.3941876544271
1.4	2.3638464149787
1.5	2.3419817743876
1.6	2.3288324968702
1.68	2.3246908152401
1.69	2.3245740498773
1.697	2.3245453897433
1.698	2.3245448637160		最小值
1.699	2.3245452297644
1.700	2.3245464878882
1.701	2.3245486380860
1.71	2.3246081324459
1.72	2.3247589764540
1.8	2.3291726769795
1.9	2.3426582663677
2.0	2.3648516984653
2.1	2.3955109616627
2.2	2.4343162054503
2.3	2.4808852084990
2.4	2.5347901010418
2.5	2.5955738679316
2.6	2.6627654722861
2.7	2.7358928388860
2.8	2.8144933292328
2.9	2.8981216647483
3.0	2.9863554838683
3.1	3.0787988530167
3.2	3.1750841071698
3.3	3.2748723955030
3.4	3.3778532731621
3.5	3.4837436289366
3.6	3.5922861826780	118.9465288292
3.67245	3.6724489019961	119.9998640293	最大值
3.7	3.7032477331826	120.3883871224	超过了120°

TSC999

期待给出正三角形最小边长的理论表达式。

hejoseph

三角形的正等力点向各边作垂足得到的垂足三角形即为三角形最小内接正三角形，设三角形面积为 $S$，此时边长为
\[
\frac{2\sqrt{2}S}{\sqrt{a^2+b^2+c^2+4\sqrt{3}S}}
\]