三个全等的正三角形，其中两个顶点位于三角形的边上，第三个顶点是 P

hbghlyj

Observing algebraic relationships 写道：使用 OK Geometry，您还可以观察和推测动态构造中几何量之间的代数关系。例子：

三角形 ABC 内的点 P 产生三个全等的正三角形，其中两个顶点位于三角形的边上，第三个顶点是 P。 以下是使用 OK Geometry 获得的关于此配置中强调线段长度的一些推测。 \begin{align} m&=r \cdot \frac{8 \cdot \text{Area}}{4 \sqrt{3} \cdot \text{Area}+(a^2+b^2+c^2)}\\ n&=a \cdot \frac{\abs{4 \cdot \text{Area}+\frac{\sqrt{3}}{2} \cdot(-a^2+b^2+c^2)}}{4 \sqrt{3} \cdot \text{Area}+(a^2+b^2+c^2)}\\ o&=a \cdot \frac{4 \sqrt{3} \cdot \text{Area}-(a^2+b^2-c^2)}{4 \sqrt{3} \cdot \text{Area}+(a^2+b^2+c^2)} \end{align}如何证明呢

hejoseph

设点 $P$ 是 $\triangle ABC$的正等力点，$\triangle ABC$ 外接圆半径为 $R$，最小内接正三角形边长为 $l$，则
\[
PA\cdot BC=PB\cdot CA=PC\cdot AB=2Rl
\]
forum.php?mod=viewthread&tid=13899
上面链接已经给过最小内接正三角形的边长了。
如果不知道边长，可以利用 $AB$、$BC$、$CA$、$PA$、$PB$、$PC$ 的长度关系，并利用等力点的定义
\[
PA\cdot BC=PB\cdot CA=PC\cdot AB
\]
求得 $PA$、$PB$、$PC$ 的长度，要注意舍去负等力点。
求得 $PA$、$PB$、$PC$ 的长度后，点 $P$ 到 $\triangle ABC$ 各边的距离就知道了。
又以点 $P$为顶点，$\triangle ABC$ 各边一部分为边的小等腰三角形的内角已知，这样腰和底边长度就能求得。
计算过程麻烦，不写了。

hejoseph

作三个全等正三角形的方法：
（1）作出 $\triangle ABC$ 的正等力点，方法之一是分别作圆弧 $BPC$ 和 $CPA$，使其所含的圆周角分别是 $\angle A+60^\circ$ 和 $\angle B+60^\circ $，两圆弧交点就是正等力点。
（2）过点 $P$ 作直线 $BC$ 的垂线 $PD$。
（3）直线 $PD$ 绕点 $P$ 旋转 $\angle A-30^\circ$，交直线 $BC$ 于点 $E$，则点 $E$ 就是正三角形的一个顶点。
（4）以点 $P$ 为圆心，$PE$ 为半径作圆，圆与三边所在直线的交点就是正三角形的其余顶点。