与圆相关的三角形面积

力工

此题看似与坐标有关，用解析法也很难算的，求助解析法与更高更强的几何解法。谢谢！
已知以坐标原点$B$为圆心的圆过点$D(-2,2)$，半径$BC$的中点$E(0,-\sqrt{2})$,延长$DE$交圆周于$A,F$为$x$轴上的一点，$DF,EF$分别与圆交于点$G',G$,若弧$AC$与弧$G'G$的长度相等，求$\triangle DEF$的面积大小。

力工

算了几次都不能下去，请高人们指点，辛劳评说下，谢谢。

TSC999

这个题目，用复斜率解析几何很容易做。
两个弧长相等等价于两个弦长相等。把 F 点的复数坐标（是一个实数）作为未知数，可求出含有未知数的 G 和 G' 的坐标。最后由 CA=GG' 的条件，可求出 F 点的坐标。于是可求得三角形 DEF 的面积精确到 50 位的数字值为： 8.0820177829901484072083229106793268984084477052172....
面积的理论表达式见后面的图片。

1. Clear["Global`*"];
2. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0; c = -2 Sqrt[2] I; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = 2 Sqrt[2] I;  d = -2 + 2 I;
3. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = -2 - 2 I; e = -Sqrt[2] I; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Sqrt[2] I; R = 2 Sqrt[2];
4. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = f;
5. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
6. W1 = {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(b - g) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)) == R^2, k[e, f] == k[e, g]}, {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)}] // Flatten;
7. g = Part[W1, 3]; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = Part[W1, 4];
8. W2 = {g1, \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(b - g1) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\)) == R^2, k[d, f] == k[d, g1]}, {g1, \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\)}] // Flatten;
9. g1 = Part[W2, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\) = Part[W2, 2];
10. W3 = {a, \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(b - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == R^2, k[d, e] == k[d, a]}, {a, \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)}] // Flatten;
11. a = Part[W3, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = Part[W3, 2];
12. W = {f} /. Simplify@Solve[{(c - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (g - g1) (\!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\)), k[b, f] == 1}, {f}] // Flatten;
13. f = Part[W, 2]; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = f;
14. Print["F = ", f, " \[TildeTilde] ", N@Re[f]];
15. S[a_, b_, c_] := (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (b - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (c - a) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (a - b))/(4 I);(*已知三角形各顶点坐标，求其有向面积，ABC逆时针向环绕*)
16. Print["\[EmptyUpTriangle]DEF 的面积 = ",  Simplify@S[d, e, f], " \[TildeTilde] ", N[Re@S[d, e, f], 50]];

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运行结果为：

1. F = 1/69 (-84+72 Sqrt[2]-(2 I 3^(2/3) (-887+113 Sqrt[2]) (-I+Sqrt[3]))/Power[145566-143667 Sqrt[2]+23 I Sqrt[-83346270+66834876 Sqrt[2]], (3)^-1]+(1-I Sqrt[3]) Power[436698-431001 Sqrt[2]+69 I Sqrt[-83346270+66834876 Sqrt[2]], (3)^-1]) \[TildeTilde] 3.90591
2. \[EmptyUpTriangle]DEF 的面积 = (2 Power[3, (6)^-1] (1548+661 Sqrt[2]) (3 I+Sqrt[3])+6 (-4+33 Sqrt[2]) Power[145566-143667 Sqrt[2]+23 I Sqrt[-83346270+66834876 Sqrt[2]], (3)^-1]+Power[3, (3)^-1] (2+Sqrt[2]) (1-I Sqrt[3]) (145566-143667 Sqrt[2]+23 I Sqrt[-83346270+66834876 Sqrt[2]])^(2/3))/(138 Power[145566-143667 Sqrt[2]+23 I Sqrt[-83346270+66834876 Sqrt[2]], (3)^-1]) \[TildeTilde] 8.0820177829901484072083229106793268984084477052172

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运行结果的图片：

上面一行是 F 点坐标的理论表达式及大约的数字值。理论表达式应该能够进一步简化的！请高人简化。
下面一行是三角形 DEF 面积的理论表达式及精确到50位的数字值。面积的理论表达式也应该能够简化的！请高人简化。

TSC999

下面这个 F 点坐标的表达式应该能简化成一个实数的样子，如何去掉下式中的虚数符号？

上式的代码如下：

1. F = (1/69) (-84+72 Sqrt[2]-(2 I 3^(2/3) (-887+113 Sqrt[2]) (-I+Sqrt[3]))/Power[145566-143667 Sqrt[2]+23 I Sqrt[-83346270+66834876 Sqrt[2]], (3)^-1]+(1-I Sqrt[3]) Power[436698-431001 Sqrt[2]+69 I Sqrt[-83346270+66834876 Sqrt[2]], (3)^-1])

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kuing

根据楼上给出的结果，点 F 的横坐标是三次方程
\[23 x^3-\left(72 \sqrt{2}-84\right) x^2-\left(56+136 \sqrt{2}\right) x-272 \sqrt{2}+256=0\]
的正数根，约为 3.9059。

所以这道题不但没有美感，也没有简单结果，纯废题，扔掉吧。

力工

kuing 发表于 2023-12-18 15:18
根据楼上给出的结果，点 F 的横坐标是三次方程
\[23 x^3-\left(72 \sqrt{2}-84\right) x^2-\left(56+136 \s ...

谢谢两位的评点！

TSC999

根据 kuing 提供的化简指令，写出以下改进程序：

1. Clear["Global`*"];
2. \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) = b = 0; c = -2 Sqrt[2] I; \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) = 2 Sqrt[2] I;  d = -2 + 2 I;
3. \!\(\*OverscriptBox[\(d\), \(_\)]\) = -2 - 2 I; e = -Sqrt[2] I; \!\(\*OverscriptBox[\(e\), \(_\)]\) = Sqrt[2] I; R = 2 Sqrt[2];
4. \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = f;
5. k[a_, b_] := (a - b)/(\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\)); (*复斜率定义*)
6. W1 = {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(b - g) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)) == R^2, k[e, f] == k[e, g]}, {g, \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\)}] // Flatten;
7. g = Part[W1, 3]; \!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) = Part[W1, 4];
8. W2 = {g1, \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(b - g1) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\)) == R^2, k[d, f] == k[d, g1]}, {g1, \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\)}] // Flatten;
9. g1 = Part[W2, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\) = Part[W2, 2];
10. W3 = {a, \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)} /. Simplify@Solve[{(b - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == R^2, k[d, e] == k[d, a]}, {a, \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)}] // Flatten;
11. a = Part[W3, 1]; \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) = Part[W3, 2];
12. W = {f} /. Simplify@Solve[{(c - a) (\!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\)) == (g - g1) (\!\(\*OverscriptBox[\(g\), \(_\)]\) - \!\(\*OverscriptBox[\(g1\), \(_\)]\)), k[b, f] == 1}, {f}] // Flatten;
13. f = Part[W, 2];f = f // ComplexExpand // FullSimplify; \!\(\*OverscriptBox[\(f\), \(_\)]\) = f;
14. Print["F = ", f, " \[TildeTilde] ", N[f]];
15. S[a_, b_, c_] := (\!\(\*OverscriptBox[\(a\), \(_\)]\) (b - c) + \!\(\*OverscriptBox[\(b\), \(_\)]\) (c - a) + \!\(\*OverscriptBox[\(c\), \(_\)]\) (a - b))/(4 I);(*已知三角形各顶点坐标，求其有向面积，ABC逆时针向环绕*)
16. SS = FullSimplify@S[d, e, f];
17. Print["\[EmptyUpTriangle]DEF 的面积 = ", SS, " \[TildeTilde] ", N[SS, 50]];

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运行结果如下：