平行的证明

力工

已知$AB,CD$是圆$O$的两互相垂直的直径，$E$为弧$BC$上一点，$EG\perp CD$交$AC$于$G,GH\perp AB$交$ED$于$H,EF\perp AB$交圆$O$于$F$,求证：$HF\px AC$.

kuing

不妨设为单位圆，设 `\angle EOB=\theta`，则所有线段均可用 `\theta` 表示，计算就是了。

睡神

记$GE$与$CO$的交点为$I$，过点$F$作$FJ\perp GH$，垂足为$J$，连接$CE,BD$.

显然有$\triangle DIE\sim \triangle HGE$

由相似比得：$\dfrac{IE}{EG}=\dfrac{ID}{GH}$

即$\dfrac{IE}{2OI+IG}=\dfrac{IE+IG}{2OI+JH}$

变形得$JH=\dfrac{(2OI+IG)\cdot IG}{IE}+IG=\dfrac{ID\cdot IG}{IE}+IG=IE+IG=JF$

战巡

连$CE, AD$，$AD$和$GH$交于$J$，连$FJ$，作$DK\perp GH$，定义$I$为$GE, CD$交点

这里显然$G$和$J$关于$AB$对称，也不难证明$FJ\perp GH$

由于$CD$为直径，有$CE\perp EH$

另一方面，显然$\angle CGE=\angle DJH=45\du$
然后$\angle CEG=\angle EDC=\angle GHD$，有$\Delta CGE\sim\Delta JHD$
再然后，显然$KD=GI=CI$，于是两个相似三角形对应边上的高相等，那只能有它们全等，即有$\Delta CGE\cong\Delta JHD$
因此
\[GE=JH=JF\]