问题修改：四边形的证明

力工

如图，已知$AH//EBG,CG//FBH,BD$平分$\angle ABC,\angle ABE=\angle DBF$，
若$EF//AC$，求证：$AB=AC$。

修改了上次题中的条件。图见最下面。中间的为原来的题，但为什么不能删去它？
终于删去了。

kuing

问题修改前的回答

只需证明如下命题：
如下图，已知 `\angle DBA=\angle DBC=\alpha` 且 `\angle ABH=\angle CBE=\beta`，则：
`AC\px HE` 当且仅当整个图形关于 `DB` 对称。

证明：设 `\angle DAB=x`, `\angle DCB=y`，由正弦定理有
\begin{align*}
\frac{DA}{DB}&=\frac{\sin\alpha}{\sin x},\\
\frac{DH}{DB}&=\frac{\sin(\alpha+\beta)}{\sin(x-\beta)},
\end{align*}
所以
\begin{align*}
\frac{DA}{DH}&=\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}\cdot\frac{\sin(x-\beta)}{\sin x}\\
&=\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}(\cos\beta-\cot x\sin\beta),
\end{align*}
同理可得
\[\frac{DC}{DE}=\frac{\sin\alpha}{\sin(\alpha+\beta)}(\cos\beta-\cot y\sin\beta),\]
所以
\[AC\px HE\iff\frac{DA}{DH}=\frac{DC}{DE}\iff\cot x=\cot y\iff x=y,\]
而 `x=y` 就意味着左右两边的三角形全等，即整个图形关于 `DB` 对称。

回到原题，既然左右对称，再加上是平行四边形，那就只能是菱形。

力工

蹲在旁等大佬，给个几何解法。

kuing

我可是完全按你写的条件证的，包括你打的和图上的，从来没有 `\angle HBA=\angle DBC`，你再看一下？

力工

题目修改了。请大神们出手了。

kuing

力工 发表于 2024-10-14 15:22
题目修改了。请大神们出手了。

是BD平分角ABC吧

kuing

求证的是 AB=BC 吧？

就这粗心程度，真不敢撸你的题了啊

还有，我一直不明白，无论是修改前还是修改后，最上面那两个点都是多余的（那两个三角形没有任何用途，所以我 2# 一开始就简化了图形）。

到底这题是你自己想出来的，还是怎么来的？有没有出处？

力工

kuing 发表于 2024-10-14 18:51
求证的是 AB=BC 吧？

就这粗心程度，真不敢撸你的题了啊

很抱歉，是我错了，我理解错了，原来是要证明四边形$ACGH$的对角互补。