切线与$BC$的夹角等于$\angle BAC$

hbghlyj

$A(1,0),B(0,0)$
求证：曲线$\tan ^{-1}(\frac{x}{y})+y=c$（$c$为常数）在其上任一点$C$的切线与$BC$的夹角等于$\angle BAC$.

Aluminiumor

设 $C(x_0,y_0)$
$\tan\angle BAC=\dfrac{y_0}{1-x_0}$
$k_{BC}=\dfrac{y_0}{x_0}$
曲线方程可写为 $x=\dfrac{y}{\tan(c-y)}$
两边微分，可得切线斜率 $k=\dfrac{\tan^2(c-y_0)}{\tan(c-y_0)-(\tan^2(c-y_0)+1)y_0}=\dfrac{y_0}{x_0-x_0^2-y_0^2}$
切线与 $BC$ 夹角正切值为 $\dfrac{k-k_{BC}}{1+k\cdot k_{BC}}=\dfrac{y_0}{1-x_0}=\tan\angle BAC$
得证.