抛物线中三线相切与四点共圆问题

lemondian · Posted at 2022-4-24 08:26:22

如图，已知$\triangle ABC$内接于抛物线$E:x^2=y$，且边$AB,AC$所在直线分别与抛物线$M:y^2=4x$相切，$F$为抛物线$M$的焦点。
求证：（1）边$BC$所在直线与抛物线$M$相切；
（2）$A,C,B,F$四点共圆。

kuing · Posted at 2022-4-24 12:43:55

取 `A`, `B` 为直线 `y=x+1` 与 `y=x^2` 的两交点，再取 `C(-1,1)`，不难验证此时 `\triangle ABC` 三边所在直线均与 `y^2=4x` 相切。
于是根据彭赛列闭合定理可知（1）成立。

至于（2），见 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=3441#pid14170

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[几何] 抛物线中三线相切与四点共圆问题