请教一道圆锥曲线题的几何背景

snowblink

如题

kuing

背景看不出，不过第一问恰好可以使用今天刚使过的方法。


（1）将整个图形绕 `O` 逆时针旋转 `45\du` 同时缩小至原来的 `1/\sqrt2` 倍，此时 `C(0,1)` 且易知抛物线方程变成
\[x-y+(x+y)^2=0,\]
而 `M` 则在直线 `y=x+1` 上，条件的 `t>1` 相当于设 `M(x_0,x_0+1)`, `x_0>0`，则直线 `AB` 的方程为
\[\frac{x_0+x}2-\frac{x_0+1+y}2+(x_0+x_0+1)(x+y)=0,\]
化简即
\[3x+4x_0x+y+4x_0y-1=0,\]
设 `OA`: `y=k_1x`, `OB`: `y=k_2x`，由于抛物线在 `O` 处的切线显然是 `y=x`，那么存在 `\lambda`, `\mu` 使得
\[\lambda\bigl(x-y+(x+y)^2\bigr)+\mu(3x+4x_0x+y+4x_0y-1)(y-x)=(y-k_1x)(y-k_2x),\]
对比 `x` 项系数得 `\lambda+\mu=0`，再对比 `xy` 系数得
\[2\lambda+2\mu=-(k_1+k_2),\]
所以 `k_1+k_2=0`，亦即 `\angle AOC=\angle BOC`。

PS、如果 `C` 及 `M` 所在直线平移一下，结论就不成立。第二问暂时也没啥想法。