圆锥曲线中，有关两圆公共弦过定点问题

lemondian

命题1：设椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1,P(x_0,y_0)$是平面上任意一点，过点$P$作两条动直线$l_1,l_2$分别交椭圆于点$A,B,C,D$。设以$AB$为直径的圆和以$CD$为直径的圆的公共弦所在直线为$m$，则直线$m$过定点$Q(\dfrac{(a^2+b^2)x_0}{2a^2}+\dfrac{(a^2-b^2)b^2x_0}{2(b^2x_0^2+a^2y_0^2)},\dfrac{(a^2+b^2)y_0}{2b^2}+\dfrac{(b^2-a^2)a^2y_0}{2(b^2x_0^2+a^2y_0^2)})$。

命题2：设抛物线$C:y^2=2px(p>0),P(x_0,y_0)$是平面上任意一点，过点$P$作两条动直线$l_1,l_2$分别交抛物线于点$A,B,C,D$。设以$AB$为直径的圆和以$CD$为直径的圆的公共弦所在直线为$m$，则直线$m$过定点$Q(\dfrac{y_0^2}{2p},\dfrac{y_0^3}{2p^2}-\dfrac{x_0y_0}{p}+y_0)$。


请教大家，如何证明两个命题？

kuing

为方便码字，将椭圆改为 `\Gamma`: `ax^2+by^2=1`。（也顺便包含了双曲线）

为方便计算，将坐标系平移，使得 `P` 为原点，此时 `\Gamma` 变为 `a(x+x_0)^2+b(y+y_0)^2=1`。

设 `l_1`, `l_2` 的方程分别为 `y=k_1x`, `y=k_2x`，将 `l_1` 代入上述方程后由韦达得
\begin{align*}
x_A+x_B&=-\frac{2(ax_0+bk_1y_0)}{a+bk_1^2}=p(k_1),\\
x_Ax_B&=\frac{ax_0^2+by_0^2-1}{a+bk_1^2}=q(k_1),
\end{align*}
那么 `y_A+y_B=k_1p(k_1)`, `y_Ay_B=k_1^2q(k_1)`，以 `AB` 为直径的圆方程为
\[(x-x_A)(x-x_B)+(y-y_A)(y-y_B)=0,\]
即
\[x^2+y^2-p(k_1)(x+k_1y)+q(k_1)(1+k_1^2)=0,\]
同理可知以 `CD` 为直径的圆方程为
\[x^2+y^2-p(k_2)(x+k_2y)+q(k_2)(1+k_2^2)=0,\]
两圆相减得公共弦方程为
\[-p(k_1)(x+k_1y)+p(k_2)(x+k_2y)+q(k_1)(1+k_1^2)-q(k_2)(1+k_2^2)=0,\]
进入暴力流时间，代入表达式，去分母化简，最终可将上述公共弦整理为
\begin{align*}
&2(a-bk_1k_2)(ax_0y+bxy_0)\\
&+(k_1+k_2)(a^2x_0^2-b^2y_0^2-2abxx_0+2abyy_0-abx_0^2+aby_0^2-a+b)=0,
\end{align*}
令
\[\led
ax_0y+bxy_0&=0,\\
a^2x_0^2-b^2y_0^2-2abxx_0+2abyy_0-abx_0^2+aby_0^2-a+b&=0,
\endled\]
解得
\[\led
x&=\frac{x_0(a-b)(ax_0^2+by_0^2-1)}{2b(ax_0^2+by_0^2)},\\
y&=-\frac{y_0(a-b)(ax_0^2+by_0^2-1)}{2a(ax_0^2+by_0^2)},
\endled\]
所以公共弦过定点
\[\left(\frac{x_0(a-b)(ax_0^2+by_0^2-1)}{2b(ax_0^2+by_0^2)},-\frac{y_0(a-b)(ax_0^2+by_0^2-1)}{2a(ax_0^2+by_0^2)}\right),\]
最后将坐标系还原回去，定点就是
\[\left(x_0+\frac{x_0(a-b)(ax_0^2+by_0^2-1)}{2b(ax_0^2+by_0^2)},y_0-\frac{y_0(a-b)(ax_0^2+by_0^2-1)}{2a(ax_0^2+by_0^2)}\right),\]
也可写成
\[\left(\frac{a+b}{2b}x_0+\frac{(b-a)x_0}{2b(ax_0^2+by_0^2)},\frac{a+b}{2a}y_0+\frac{(a-b)y_0}{2a(ax_0^2+by_0^2)}\right),\]
作置换 `(a,b)\to(1/a^2,1/b^2)` 后与 1# 结论一致。

lemondian

kuing 发表于 2022-10-12 23:28
为方便码字，将椭圆改为 `\Gamma`: `ax^2+by^2=1`。（也顺便包含了双曲线）

为方便计算，将坐标系平移，使 ...

谢谢kuing！
比直接解的运算量要少了，
不知还有没有更简便的方法呢？