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本帖最后由 kuing 于 2024-3-19 14:40 编辑 也就是 @isee 在 kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=2623&page=1#pid10491 13# 提到的：
如图，$DE$ 为椭圆在 $D$ 处的法线，$EF$, $EG$ 为椭圆的切线，则 $DE$ 平分 $\angle FDG$。
最近我连续几次用了曲线系的玩法，突然回想起这个题，发现也可以用，于是再写一下。
解：还是以 $D$ 处的切线为 $x$ 轴，法线 $DE$ 为 $y$ 轴，建立直角坐标系，则可设椭圆方程为
\[ax^2+2bxy+cy^2+2ey=0,\]
设 `E(0,y_0)`，则 `FG` 的方程为
\[by_0x+cy_0y+e(y_0+y)=0,\]
设 `DF`: `y=k_1x`, `DG`: `y=k_2x`，则由二次曲线系的理论，`l_{FG}` 与 `D` 处切线（`y=0`）的乘积与椭圆可线性组合出 `l_{DF}\cdot l_{DG}`，即存在实数 `\lambda`, `\mu` 使得
\[\lambda(ax^2+2bxy+cy^2+2ey)+\mu\bigl(by_0x+cy_0y+e(y_0+y)\bigr)y=(y-k_1x)(y-k_2x),\]
比较 `xy` 项系数得
\[(2\lambda+\mu y_0)b=-(k_1+k_2),\]
比较 `y` 项系数得
\[(2\lambda+\mu y_0)e=0,\]
而如果 `e=0` 则椭圆就不是椭圆（而是两直线），所以只能 `2\lambda+\mu y_0=0`，即 `k_1+k_2=0`，即得证。
这解法就比我当时的解法要好一些。 |
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