定双曲线与动抛物线公切线与交点成三角形面积为定值

O-17

给定正实数 $t>0$ , 设双曲线 $C_1:xy=-t$ 与抛物线 $C_2:y^2=2px$ 的公切线为 $l$ , 且 $l$ 切 $C_1$ 于点 $S$ , 切 $C_2$ 于点 $T$ , 若 $C_1$ 与 $C_2$ 的交点为 $R$ , 证明: $\triangle RST$ 的面积是与 $p$ 无关的定值, 并求出该定值.

题源: 上海市高三数学竞赛第 9 题 ( 略有改编, 原题为 $t=1$ 的情况 )

$t=1$ 时, 这个面积应该是 $27/4$ , 很好奇这个问题的背景, 以及是否可以推广.

lemondian

如果将双曲线$C_1$改为等轴双曲线$x^2-y^2=a(a>0)$，会有什么结果？