2023年甲卷解析几何题

lemondian

2023年甲卷解析几何解答题。
$F$为抛物线$C:y^2=4x$的焦点，$M,N$为$C$上两个动点，且$\vv{MF}\cdot \vv{NF}=0$，求面积$\triangle MNF$的最小值。

推广一下：$F$为抛物线$C:y^2=2px(p>0)$的焦点，$M,N$为$C$上两个动点，且$\vv{MF}\cdot \vv{NF}=0$，求面积$\triangle MNF$的最小值。
请问：推广有没有简捷的解法？

kuing

你不知道所有抛物线都是相似的吗？
如果 `y^2=4x` 时答案是 `S`，那么 `y^2=2px` 时答案就是 `(p/2)^2S`。
所以做原题就行，不用做推广。

lemondian

kuing 发表于 2023-6-10 12:08
你不知道所有抛物线都是相似的吗？
如果 `y^2=4x` 时答案是 `S`，那么 `y^2=2px` 时答案就是 `(p/2)^2S`。
...

这样玩，真好！

另：
（1）$F$为椭圆$C:\dfrac{x^2}{a^2}+\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>b>0)$的焦点，$M,N$为$C$上两个动点，且$\vv{MF}\cdot \vv{NF}=0$，求面积$\triangle MNF$的最小值。
（2)$F$为双曲线$C:\dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1(a>0，b>0)$的焦点，$M,N$为$C$上两个动点，且$\vv{MF}\cdot \vv{NF}=0$，求面积$\triangle MNF$的最小值。
请问：如何求解？

lemondian

各位，请帮忙解答一下呗

lemondian

各位，请帮忙解答一下呗

Czhang271828

写成极坐标形式, 圆锥曲线 $r(\theta)=\dfrac{e}{1-e\cos \theta}$​. 下面就是求
$$
\dfrac{e^2}{2|(1-e\cos \theta)(1-e\sin \theta)|}
$$
最小值. 我们只需判断 $|(1-e\cos\theta)(1-e\sin \theta)|$ 的最大值在何处取达. 求导发现几个临界点
$$
(1)\,\,1=e(\cos\theta+\sin \theta),\quad (2)\,\,\cos \theta=\sin\theta,\quad (3)\,\,\sin \theta\in \{0,\pm 1\}.
$$
情况 $(1)$: 此时 $\dfrac{1}{e\sqrt 2}=\sin (\theta+\pi/4)$. 有界时 $e\sqrt 2\geq 1$. 此时原式为
$$
|e^2\sin \theta\cos\theta|=\dfrac{1}{2}|1-e^2|.
$$
情况 $(2)$: 此时最大值为 $|(1+e/\sqrt 2)|^2$.

情况 $(3)$: 此时最大值为 $|1+e|$, 明显小于情况 $(2)$.

比较知, 情形 $(1)$ 恒小于情形 $(2)$. 因此面积最小值就在 $\tan \theta=\pm 1$ 的两条曲线处取达.

lemondian

Czhang271828 发表于 2023-6-11 15:24
写成极坐标形式, 圆锥曲线 $r(\theta)=\dfrac{e}{1-e\cos \theta}$​. 下面就是求
$$
\dfrac{e^2}{2|(1-e\c ...

谢谢Czhang271828：
有几个疑问：（主要是对极坐标方程不熟悉）
1.圆锥曲线的极坐标方程不是这个$\rho=\dfrac{ep}{1-e\cos\theta}$么？
我用这个方程，算出面积的最小值是$\dfrac{e^2p^2}{(\sqrt{2}+e)^2}$，不知对不对？
2.是不是双曲线时，$\rho=\dfrac{ep}{|1-e\cos\theta|}$(分母要加绝对值符号)，而抛物线与椭圆不用？
3.最后一句应该是面积最小值吧？

Czhang271828

lemondian 发表于 2023-6-11 16:08
谢谢Czhang271828：
有几个疑问：（主要是对极坐标方程不熟悉）
1.圆锥曲线的极坐标方程不是这 ...

最后一处确实是笔误. 以上过程草就, 主要是想说明取最小值的条件就是 $\theta=\pm 45^\circ $. 面积没具体算(主要是懒得转化极坐标和直角坐标).

双曲线加绝对值的原因: 三角形的斜边端点可能位于双曲线两支.

kuing

表示曲线方程时不用加绝对值，`\rho` 是可以负的。

考虑实际长度时才需要加绝对值。

lemondian

若将条件$\vv{MF}\cdot \vv{NF}=0$，改为$MF与NF$夹角为$\alpha (\alpha \in(0,\dfrac{\pi}{2}))$,这时面积有没有最小值？若有，如何求得？

lemondian

Czhang271828 发表于 2023-6-11 15:24
写成极坐标形式, 圆锥曲线 $r(\theta)=\dfrac{e}{1-e\cos \theta}$​. 下面就是求
$$
\dfrac{e^2}{2|(1-e\c ...

应该是求$|(1-e\cos\theta)(1+e\sin\theta)|$的最大值吧？

kuing

lemondian 发表于 2023-6-18 08:44
应该是求$|(1-e\cos\theta)(1+e\sin\theta)|$的最大值吧？

`|(1-e\cos\theta)(1+e\sin\theta)|` 和 `|(1-e\cos\theta)(1-e\sin\theta)|` 没有分别好吗。

lemondian

这个写法，对不？

Czhang271828

lemondian 发表于 2023-6-17 10:25
若将条件 $\vv{MF}\cdot \vv{NF}=0$, 改为 $MF$ 与 $NF$ 夹角为 $\alpha (\alpha \in(0,\dfrac{\pi}{2}))$,这时面积

如果把夹角 $90^\circ$ 换成 $\alpha=2\beta$, 那么只需求
$$
|(1-e\cos (\theta-\beta))(1-e\cos(\theta+\beta))|
$$
的最大值. 对绝对值内(对 $\theta$ )求导得
$$
2e\sin \theta (\cos \beta - e \cos \theta).
$$
从而最大值在 $\theta\in \{0,\pi,\arccos (\cos \beta /e), \pi -\arccos (\cos \beta /e)\}$ 处取得.

• 情况 (1): $\theta \in \{0,\pi\}$ 时上式最大值为 $(1+e|\cos \beta| )^2$.
  
• 情况 (2): 若 $|\cos \beta|\leq e$, 则代入 $\cos \beta =e\cos \theta$​ 得绝对值内为
    $$
    \begin{align*}
    &\quad\,\,(1-e\cos (\theta-\beta))(1-e\cos(\theta+\beta))\\[8pt]
    &=(1-e\cos \theta\cos\beta-e\sin \theta\sin\beta)(1-e\cos \theta\cos\beta+e\sin \theta\sin\beta)\\[8pt]
    &=(1-e\cos \theta\cos\beta)^2-e^2\sin^2 \theta\sin^2\beta\\[8pt]
    &=(1-\cos^2\beta)^2-(e^2-\cos^2\beta)(1-\cos^2\beta)\\[8pt]
    &=(1-\cos^2\beta)(1-e^2)\\[8pt]
    &=(1-e^2)\sin ^2\beta.
    \end{align*}
    $$
  

情况 (2) 肉眼可见地小于情况 (1). 证明如下:
$$
\Big[(1-e^2)(1-\cos \beta^2)<(1+e|\cos\beta|)^2\Big]\Longleftrightarrow \Big[-e^2-\cos ^2\beta <2e|\cos\beta|\Big].
$$
所以取等条件还是关于 $x$ 轴对称.

Czhang271828

回楼上(14楼) @lemondian 点评: $|f(x)|$ 的最大值在端点或者 $f'(x)=0$ 处取到. 这里 $f$ 是 $\mathbb R$ 上周期函数, 所以不需要考虑端点.

情况 (1) 和 (2) 分别对应 $2e\sin \theta (\cos \beta - e \cos \theta)=0$ 的两类解, 也就是 $\sin \theta =0$ 或者 $\cos\beta =e\cos \theta$, 其中情况 (1) 总有解, 情况 (2) 不一定有解. 下文计算表明即便情况 (2) 有解, 解也不及情况 (1), 因此只需考虑情况 (1).

6 楼表明三角形取最大值时, 三角形关于 $x$ 轴对称; 14 楼同理.