2008年江西高考数学压轴题

走走看看

已知 $a, b, c$ 是正实数，$a b c=8$，求证：
\[
1<\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}<2
\]
这个压轴题，在下面的视频中，对前一部分的证明很好，但第二部分证明好像有问题。

是否也可以用第一部分的方法去证第二部分呢？

bilibili.com/video/BV1us4y1T7tz
先证明：
\[
\frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}>1
\]设 $a=\frac{2 p}{q}, ~b=\frac{2 q}{r}, ~c=\frac{2 r}{p}$
\[
\frac{1}{\sqrt{1+a}}=\frac{1}{\sqrt{1+\frac{2 p}{q}}}=\frac{q}{\sqrt{q(q+2 p)}}>\frac{q}{\sqrt{q^2+2 p q+p^2}}=\frac{q}{p+q}>\frac{q}{p+q+r}
\]
同理可证：
\[
\begin{aligned}
& \frac{1}{\sqrt{1+b}}>\frac{r}{p+q+r}, \frac{1}{\sqrt{1+c}}>\frac{p}{p+q+r} \\
& \therefore \frac{1}{\sqrt{1+a}}+\frac{1}{\sqrt{1+b}}+\frac{1}{\sqrt{1+c}}>\frac{q}{p+q+r}+\frac{r}{p+q+r}+\frac{p}{p+q+r}=1
\end{aligned}
\]

kuing

kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=2369
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=4336#pid19534（6#）
kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=9138

走走看看

Kuing很厉害！总能准确定位到要找的话题。

baijiahao.baidu.com/s?id=1702238567660681759& … fr=spider&for=pc
标准答案解析

标准答案中，进行$\frac{1}{\sqrt{1+b}}＜1-\frac{b}{2(1+b)}$这样的放缩，很富有魔幻色彩。
正常考生是想不到的，想到的考生应该是没有的。

可能是想到把把$\frac{1}{\sqrt{1+x}}同数字1挂上钩，但直接挂钩很困难，于是用\frac{1}{1+x}来挂钩。$

显然它可以分离出一个1，这时就变成了$1-\frac{x}{1+x}，根据总和＜2，所以，它也必须放大。这样把这两项$

看成$a²和-2ab，那么只要配一项b²就可以了，于是，配上一项{\frac{x}{2(1+x)}}^2$。这样，就得到了要放缩的不等式。

zhuanlan.zhihu.com/p/116490544
三角换元法解析

若用三角变换证明，其中的$cosx＜1-\frac{sin²x}{2}$，也同样魔幻。不过这个魔幻我找到了用正常推理可以同样获得的方式。

不过美中不足的是，三角换元法没有对大于1的情况进行证明。

本题三角变换法证明中的式子可以这样推导：

$0<x<\frac{π}{2},\frac{1-cosx}{2}=sin²\frac{x}{2}>sin²\frac{x}{2}cos²\frac{x}{2}$

$1-cosx>\frac{1}{2}sin²x ，进一步得到 cosx<1-\frac{1}{2}sin²x$。

总的感觉，试题出得不好。高考题目，通常后面的小问都与前面的问题相关。这道题忽略了同一道题的前后关联性。
另外，在导数题的背景下，不等式一般都用求导来解决。这里的值域（1,2），却没有人能用导数来解决。如果用导数解决，不仅要算几个极值点，还要算端点，0还比较好说，无穷大就要用取极限的方式。
不仅如此，出题者还误导了考生，让考生以为要用到导数。到目前为止，还没有看到谁用导数来证明这个不等式。用导数要解高次方程，这个还没有看到谁能解决。

走走看看

主楼的第二部分：用轮换对称式证明后一部分。

同时设a≥b≥x，a≥2，即p≥q。这一部分是添加的，后面的糖水不等式的要求。