2004北京高考函数逻辑推理题？

Tesla35

(2004北京)函数
$f(x)=\left\{
\begin{aligned}
x,x\in P\\
-x,x\in M
\end{aligned}
\right.$,
其中$P$,$M$为实数集$\mathbf{R}$的两个非空子集,又规定$f(P)=\{y|y=f(x),x\in P\}$,$f(M)=\{y|y=f(x),x\in M\}$.
给出下列四个判断,其中正确判断有(\qquad)\\
①$P\cap M=\emptyset$,则$f(P)\cap f(M)=\emptyset$;\\
②若$P\cap M\neq \emptyset$,则$f(P)\cap f(M)\neq \emptyset$;\\
③若$P\cup M=\mathbf{R}$,则$f(P)\cup f(M)=\mathbf{R}$;\\
④若$P\cup M\neq\mathbf{R}$,则$f(P)\cup f(M)\neq\mathbf{R}$.\\
\onech{1个}{2个}{3个}{4个}

第4个命题如何论证？

kuing

④：当 `P\cup M\ne\mbb R` 时，即存在 `a\notin P\cup M`。

（1）若 `a=0`，则 `f(x)\ne0`；

（2）若 `a\ne0`，再分类：

        （2-1）若 `-a\notin P\cup M`，则 `f(x)\ne\pm a`；

        （2-2）若 `-a\in P\cup M`，由于 `P\cap M` 只能为 `\kongji` 或 `\{0\}`（否则 `f(x)` 的定义不合理），那么 `-a` 只能属于 `P` 与 `M` 两者之一，于是再再分类：

                （2-2-1）若 `-a\in P`，即：`a\notin P`, `\pm a\notin M`，那么 `f(x)\ne a`；

                （2-2-2）若 `-a\in M`，即：`\pm a\notin P`, `a\notin M`，那么 `f(x)\ne-a`。

综上可知 `f(P)\cup f(M)\ne\mbb R`。

战巡

我觉得你的先给我们定义一下，$M'$到底是什么东西，跟$M$什么关系

kuing

战巡 发表于 2023-7-12 12:45
我觉得你的先给我们定义一下，$M'$到底是什么东西，跟$M$什么关系

O(∩_∩)O哈！那一撇其实是公式外面的逗号

我排版分段函数一般是每一行后面都逗号，而整个公式后面没有，即 $f(x)=\begin{cases}
x,&x\in P,\\
-x,&x\in M,
\end{cases}$ 这样

tommywong

kuing 发表于 2023-7-12 13:17
O(∩_∩)O哈！那一撇其实是公式外面的逗号

我排版分段函数一般是每一行后面都逗号，而整个公 ...

逗號同句號都係用嚟隔開句子嘅
段句子喺下一行嘅時候跟本唔需要接咩逗號
作文死都要揦埋一舊又有咩着數呢

我唔撚要逗號

Tesla35

kuing 发表于 2023-7-12 12:12
④：当 `P\cup M\ne\mbb R` 时，即存在 `a\notin P\cup M`。

（1）若 `a=0`，则 `f(x)\ne0`；

好像只能这样了。现在很少能见到这种题了。高中除了立体几何证明题，很少有考推理的题了

kuing

Tesla35 发表于 2023-7-12 16:48
好像只能这样了。现在很少能见到这种题了。高中除了立体几何证明题，很少有考推理的题了 ...

也许还可以考虑反证法🙂