这个问题有没有比较自然的不等式方法？

O-17

已知正实数 $a,b$ 满足 $3a+2b=6$ , 求 $b+\sqrt{a^2+b^2-2b+1}$ 的最小值.

比较简洁的是数形结合法, 设 $A(0,1),~\ell:3x+2y=6$ , $P$ 是 $\ell$ 在第一象限上的动点, 作 $PH~\bot~\overrightarrow{x}$ 交 $x$ 轴于 $H$ , 只需要求出 $A$ 关于 $\ell$ 的对称点的纵坐标就是要求的最小值了.

比较直接的是消元求导法, 只需要求这个函数的最小值
\[
f(x)=\frac12\left(6-3x+\sqrt{13x^2-24x+16}\right)
\]
求导得
\[
f^\prime(x)=\frac12\left(\frac{13x-12}{\sqrt{13x^2-24x+16}}-3\right)
\]
令 $f^\prime(x_0)=0$ 得极值点 $x_0=\dfrac{24}{13}$ , 那么要求的最小值就是 $f(x_0)$ .

那么这个问题有没有比较自然的不等式方法呢？希望大佬们不吝赐教.

题源: 2023年上海市徐汇区一模第12题

kuing

\begin{align*}
\text{原式}&=b+\sqrt{\bigl(a^2+(b-1)^2\bigr)(\sin^2\theta+\cos^2\theta)}\\
&\geqslant b+a\sin\theta+(b-1)\cos\theta,
\end{align*}
令
\[\frac{\sin\theta}{1+\cos\theta}=\frac32,\]
平方得
\[\frac{1-\cos\theta}{1+\cos\theta}=\frac94,\]
解得
\[\cos\theta=-\frac5{13},\,\sin\theta=\frac{12}{13},\]
下略。