已知$x>0,y>0$，方程$x+3y=x^3y^2$，求$3/x+2/y$的最小值

走走看看

题：已知 $x>0, y>0$，方程 $x+3 y=x^3 y^2$，则 $\frac{3}{x}+\frac{2}{y}$ 的最小值为？
［法一］：凑 $\left(\frac{3}{x}+\frac{2}{y}\right)+$ 待定系数法
对式左右同除 $x^3 y^2 \Rightarrow$ $\frac{1}{y} \cdot \frac{1}{x} \cdot \frac{1}{x} \cdot\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}\right)=1 \xRightarrow{\text{待定系数法}} \frac{4}{9(\sqrt{2}+1)^4} \cdot \frac{(\sqrt{2}+1)^2}{y} \cdot \frac{\frac{3}{2}(\sqrt{2}+1)}{x} \cdot \frac{\frac{3}{2}(\sqrt{2}+1)}{x} \cdot\left(\frac{3}{x}+\frac{1}{y}\right)=1$ $\xRightarrow{\text{四元基本不等式}} 1 \leq \frac{4}{9(\sqrt{2}+1)^4}\left(\frac{\frac{(\sqrt{2}+1)^2}{y}+\frac{3}{2} \frac{(\sqrt{2}+1)}{x}+\frac{3}{2} \frac{(\sqrt{2}+1)}{x}+\frac{3}{x}+\frac{1}{y}}{4}\right)^4 \Rightarrow \frac{3}{x}+\frac{2}{y} \geq 2 \sqrt{3}$

把系数分别设成k、a、b，然后得出kabb=1，$\frac{2b+3}{a+1}=\frac{3}{2}$，整理
得到3a-4b=3，取a=5，b=3，则k=$\frac{1}{45}$。

代入原式得不到所求结果。
不知何故？请大神们指教。

郝酒

还要考虑取等条件要一致：
也即：$\frac{x}{y}=\frac{b}{a},(3+\frac{x}{y})=\frac{a}{k}$.

爪机专用

上星期的帖子：kuing.cjhb.site/forum.php?mod=viewthread&tid=13517

走走看看

郝酒 发表于 2025-3-10 10:48
还要考虑取等条件要一致：
也即：$\frac{x}{y}=\frac{b}{a},(3+\frac{x}{y})=\frac{a}{k}$. ...

$3+\frac{x}{y}=\frac{a}{k}$,这怎么得到的？

走走看看

走走看看 发表于 2025-3-10 11:55
$3+\frac{x}{y}=\frac{a}{k}$,这怎么得到的？

由取等条件知：$\frac{3}{x}+\frac{1}{y}=\frac{a}{y}$

再与$3+\frac{x}{y}=\frac{a}{k}$比较得到 y=kx。

也就是说，为什么要求y=kx？
或者说要 $k=\frac{a}{b}$呢？

kuing

待定正数 `a`, `b`，有
\begin{align*}
1&=\frac1{ab^2}\cdot\frac ay\cdot\frac bx\cdot\frac bx\cdot\left(\frac3x+\frac1y\right)\\
&\leqslant\frac1{4^4ab^2}\left(\frac ay+\frac bx+\frac bx+\left(\frac3x+\frac1y\right)\right)^4\\
&=\frac1{4^4ab^2}\left(\frac{2b+3}x+\frac{a+1}y\right)^4,
\end{align*}
需要括号内系数比为三比二，且满足四元均值的取等，即
\[\led
&\frac{2b+3}{a+1}=\frac32,\\
&\frac ay=\frac bx=\frac3x+\frac1y,
\endled\]
第一条变成 `3a-4b=3`，由第二条得
\[a=\frac{3y}x+1,~b=3+\frac xy,\]
则
\[(a-1)(b-3)=\frac{3y}x\cdot\frac xy=3,\]
所以有
\[\led
3a-4b&=3,\\
(a-1)(b-3)&=3
\endled
\riff a=3+2\sqrt2,~b=\frac{3+3\sqrt2}2.\]

走走看看

kuing 发表于 2025-3-10 15:45
待定正数 `a`, `b`，有
\begin{align*}
1&=\frac1{ab^2}\cdot\frac ay\cdot\frac bx\cdot\frac bx\cdot\lef ...

谢谢Kuing，您写得清晰明了！

也谢谢郝酒！


附取等条件：

\[x=\frac{\sqrt{6}}{2}\]
\[y=\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{6}}{3}\]