B站一道二元分式根式最值

kuing

前两天 86鱼 在微信发来一个B站链接里有一道题：

已知 `x`, `y>0`，求下式的最大值
\[\frac{(x^2-1)\bigl(x\sqrt{x^2-y^2+1}+3y\bigr)}{x^4+2x^2+1}.\]

解：显然只需考虑 `x>1` 的情况。

利用不等式 `(a^2-b^2)(c^2-d^2)\leqslant(ac-bd)^2`，有
\begin{align*}
x\sqrt{x^2-y^2+1}&=\sqrt{(x^2+9-9)(x^2+1-y^2)}\\
&\leqslant\sqrt{(x^2+9)(x^2+1)}-3y,
\end{align*}
得到
\[\frac{(x^2-1)\bigl(x\sqrt{x^2-y^2+1}+3y\bigr)}{x^4+2x^2+1}\leqslant\frac{(x^2-1)\sqrt{(x^2+9)(x^2+1)}}{x^4+2x^2+1},\]
换个元，令 `a=\sqrt{x^2+1}>\sqrt2`，则
\begin{align*}
\RHS&=\frac{(a^2-2)\sqrt{a^2+8}}{a^3}\\
&=\frac1{2a^3}\sqrt{(2a^2-4)(2a^2-4)(a^2+8)}\\
&\leqslant\frac1{2a^3}\sqrt{\left(\frac{2a^2-4+2a^2-4+a^2+8}3\right)^3}\\
&=\frac56\sqrt{\frac53},
\end{align*}
取等略。

睡神

来个简化版的

显然$x\ge 1$

$\dfrac{(x^2-1)\bigl(x\sqrt{x^2-y^2+1}+3y\bigr)}{(x^2+1)^2}$

$\le \dfrac{(x^2-1)\sqrt{(x^2+3^2)(x^2-y^2+1+y^2)}}{(x^2+1)^2}$

$=\sqrt{\dfrac{(x^2-1)^2(x^2+9)}{(x^2+1)^3}}$

$=\sqrt{\dfrac{(2x^2-2)^2(x^2+9)}{4(x^2+1)^3}}$

$\le \sqrt{\dfrac{(2x^2-2+2x^2-2+x^2+9)^3}{108(x^2+1)^3}}$

$=\sqrt{\dfrac{125}{108}}$

$=\dfrac{5}{6}\sqrt{\dfrac{5}{3}}$