二元条件最值

力工

正数$x,y$满足$4\sqrt{3}x+2\sqrt{3}y=xy$,求$x^2+y^2+xy$的最小值。
看不出如何通过变形关联它们。

kuing

没有简单解，请检查题目或扔掉。

力工

kuing 发表于 2024-3-27 18:27
没有简单解，请检查题目或扔掉。

谢谢！用三角代换也真是烦，所以想求个高招，原来是不能。

kuing

力工 发表于 2024-3-28 13:44
谢谢！用三角代换也真是烦，所以想求个高招，原来是不能。

根据难度守恒，随便一种方法，算出来要解的方程没有简单解，就不用再想了。
比如这里齐次化并化一元就属于通法：
\[x^2+y^2+xy=\frac{12(2x+y)^2(x^2+y^2+xy)}{x^2y^2}=\frac{12(2+t)^2(1+t^2+t)}{t^2},\quad t=\frac yx\]
对 `t` 求导后需要解 `2t^3+t^2-2t-4=0`，没有简单解，便可扔掉。