最小

Canhuang

设$x,y$为区间$(0,1)$上的实数, 证明: $x^2+xy+y^2, x^2+x(y-1)+(y-1)^2, (x-1)^2+(x-1)y+y^2, (x-1)^2+(x-1)(y-1)+(y-1)^2$ 中最小的至多为 $\dfrac13$.

kuing

有点儿意思，可以写成几何命题：
凸四边形 `ABCD` 中，对角线 `AC=BD=1` 且夹角为 `60\du`，证明该四边形的最小边不大于 `1/\sqrt3`。

（证明还没想到）

O-17

一点思路, 具体的证明明天再想

Canhuang

原解答：
依对称性，不妨设 $x\in(0, 1), y\in(0, \dfrac12)$。
考虑点 $(0,0),(1,0),(\dfrac12,\dfrac12)$ 构成的三角形，当 $x,y$ 在点 $(0,0), (\dfrac12,0),(\dfrac13,\dfrac13)$ 构成的三角形内，$x^2+xy+y^2$ 为最小；当 $x,y$ 在点 $(\dfrac12,0),(\dfrac13,\dfrac13),(\dfrac12,\dfrac12),(1,0)$ 构成的四边形中，$(x-1)^2+(x-1)y+y^2$ 为最小。由图易知结论成立。