三次双变量约束条件最大值问题

敬畏数学

$ x,y>0,x^3+y^3-\dfrac{1}{4}x-\dfrac{1}{4}y=3,$则$13x+y $的最大值______

kuing

又是这种“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型……
只要不是钓鱼题，先猜后凑就是了（现在好像流行叫“瞪眼法”👀）

为了好瞪一点，去分母换元因式分解
\begin{gather*}
(2x)^3+(2y)^3-2x-2y=24,\\
a^3+b^3-a-b=24,\\
(a+b)(a^2-ab+b^2-1)=24,
\end{gather*}
右边写成 `3\times 8` 或 `4\times 6` 来瞪，可以看出有 `\{a,b\}=\{3,1\}` 的好看解，要原式大应让 `a` 取大的，然后就凑一下试试吧：
\begin{align*}
a^3+3^3+3^3\geqslant27a&\riff a^3-a\geqslant26a-54,\\
b^3+1+1\geqslant3b&\riff b^3-b\geqslant2b-2,
\end{align*}
右边系数比果然是 `13:1`，瞪眼成功，所以
\[24=a^3-a+b^3-b\geqslant 26a+2b-56\riff 13a+b\leqslant 40,\]
换回 `x`, `y` 就是 `13x+y\leqslant 20`。

isee

kuing 发表于 2024-1-13 23:00
又是这种“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型……
只要不是钓鱼题，先猜后凑就是了（现在好像流行叫 ...

知乎提问区刚碰到了

题：若 $x,\ y>0$ 且 $x^3+y^3-\frac14x-\frac14y=3$ ，则 $13x+y$ 的最大值是（ ）

C.20

---

先猜 $(x,y)=(3/2,1/2)$ 选Ｃ．

后证，由三元均值不等 $3abc \leqslant a^3+b^3+c^3$ 知 \begin{align*}
4(13x+y)&=3\cdot2x\cdot3\cdot3+{\color{blue}{3\cdot 2y\cdot 1\cdot 1}}-2x-2y\\[1ex]
&\leqslant (2x)^3+27+27+{\color{blue}{(2y)^3+1+1}}-2x-2y\\[1ex]
&=8x^3+8y^3-2x-2y+56\\[1ex]
&=80,
\end{align*} 得到 $13x+y\leqslant 20$ .

敬畏数学

kuing 发表于 2024-1-13 23:00
又是这种“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型……
只要不是钓鱼题，先猜后凑就是了（现在好像流行叫 ...

说的很清楚。这种题其实可以扔掉，没有意义，以前也有这样凑数！

敬畏数学

kuing 发表于 2024-1-13 23:00
又是这种“本质涉及高次方程，非凑好数据不能解”型……
只要不是钓鱼题，先猜后凑就是了（现在好像流行叫 ...

现在好像流行叫“瞪眼法”👀，对现在网络流行这个词。😂