求证$a^{917}+b^{917}\geqslant 2^{-916}$

isee

若对任意正实数 $a,b$ 满足 $a+b=1$，求证：$a^{917}+b^{917}\geqslant 2^{-916}$.

战巡

$p=917, q=\frac{1}{1-\frac{1}{917}}=\frac{917}{916}$

赫尔德不等式：
\[a\cdot 1+b\cdot 1\le(a^p+b^p)^{\frac{1}{p}}\cdot(1^q+1^q)^{\frac{1}{q}}\]
\[1=a+b\le(a^{917}+b^{917})^{\frac{1}{917}}\cdot 2^{\frac{916}{917}}\]
\[a^{917}+b^{917}\ge 2^{-916}\]