$(a_1^3+a_2^3+a_3^3)(b_1^3+b_2^3+b_3^3)(c_1^3+\cdots)\geq(a_1b_1c_1+\cdots)^3$

isee

源自知乎提问

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证明：卡尔松 ( Carlson ) 不等式的三数组形式
\[(a_1^3+a_2^3+a_3^3)(b_1^3+b_2^3+b_3^3)(c_1^3+c_2^3+c_3^3)\geqslant (a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+a_3b_3c_3)^3.\]

班门弄斧了.

——写给对竞赛不等式入门感兴趣的中学生.

先看一个与加权均值不等式等价的形式上较简洁的命题:

Young 不等式：设 $p>1,\,q>1$ 且 $\frac 1p+\frac 1q=1$ ，则对任意 $a,b\geqslant0$ 有 \[ab\leqslant \frac1pa^p+\frac1qb^q,\] 当且仅当 $a^p=b^q$ 时取得等号.

仅证 $p,\,q$ 为有理数的情形，不妨设 $p=\frac{n}{m}$ ，正整数 $(m,n)=1$，则 $q=\frac{n}{n-m}$ ，由均值不等式 \begin{align*}
&\quad\;\frac{\overbrace{a^\frac nm+\cdots+a^\frac nm}^{m\ \text{个}}+\overbrace{b^\frac n{n-m}+\cdots+b^\frac n{n-m}}^{n-m\ \text{个}}}n\\[1ex]
&\geqslant \sqrt[n]{\big(a^\frac nm\big)^m\cdot \big(b^\frac n{n-m}\big)^{n-m}}\\[1ex]
&=ab.
\end{align*} 即有 \[ab\leqslant\frac mna^\frac nm+\frac {n-m}nb^\frac{n-m}n=\frac1pa^p+\frac1qb^q. \]

从而对两正数组 $(a_1,a_2,\cdots,a_n)$ ， $(b_1,b_2,\cdots,b_n)$ ， $i=1,2,\cdots,n$ ，依 Young 不等式有 \begin{align*}
&\quad\;\frac{a_i^\frac1p}{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^\frac1p}\cdot \frac{b_i^\frac1q}{(b_1+b_2+\cdots+b_n)^\frac1q}\\[1ex]
&\leqslant\frac1p\frac{a_i}{a_1+a_2+\cdots+a_n}+\frac1q\frac{b_i}{b_1+b_2+\cdots+b_n},\tag{01}
\end{align*} 对 $(01)$ 式中 $i=1,2,\cdots,n$ 进行累和相加得到 \begin{align*}
&\quad\;\frac{a_1^\frac1pb_1^\frac1q+a_2^\frac1pb_2^\frac1q+\cdots+a_n^\frac1pb_n^\frac1q}{(a_1+a_2+\cdots+a_n)^\frac1p(b_1+b_2+\cdots+b_n)^\frac1q}\\[1ex]
&\leqslant\frac1p\frac{a_1+a_2+\cdots+a_n}{a_1+a_2+\cdots+a_n}+\frac1q\frac{b_1+b_2+\cdots+b_n}{b_1+b_2+\cdots+b_n}\\[1ex]
&=\frac1p+\frac1q\\[1ex]
&=1,
\end{align*} 去分母整理即有 \begin{align*}
&\quad\;(a_1+a_2+\cdots+a_n)^\frac1p(b_1+b_2+\cdots+b_n)^\frac1q\\[1ex]
& \geqslant a_1^\frac1pb_1^\frac1q+a_2^\frac1pb_2^\frac1q+\cdots+a_n^\frac1pb_n^\frac1q,\tag{02}
\end{align*} 取任意正整数 k，有 $\frac kp+\frac kq=k$ ，并记 $\frac kp=p_1$ ， $\frac kq=p_2$ ，将 $(02)$ 式两端 k 次方，代入 $p_1,\;p_2$ ，改写为 \begin{align*}
&\quad\;(a_1+a_2+\cdots+a_n)^{p_1}(b_1+b_2+\cdots+b_n)^{p_2}\\[1ex]
&\geqslant \Big(\sqrt[p_1+p_2]{a_1^{p_1}b_1^{p_2}}+\sqrt[p_1+p_2]{a_2^{p_1}b_2^{p_2}}+\cdots+\sqrt[p_1+p_2]{a_n^{p_1}b_n^{p_2}}\Big)^{p_1+p_2},\tag{03}
\end{align*}这个 $(03)$ 式就是两数组的赫尔德不等式： $p_1,\;p_2\in\mathbb R^+$ .

特别的，当 $p_1,\;p_2\in\mathbb Z^+$ 就是卡尔松不等式.

哦，当且仅当（把这两组数看作向量就是同向共线）成比例，即 $a_i=\lambda b_i$ 时取得等号，与柯西不等式形式上一致.

习惯柯西不等的朋友十分眼熟吧，对，这就是柯西不等的推广.

其实，对两组以上正数组赫尔德不等也是成立的——本问题中是卡尔公不等式——（个人习惯直接称统称赫尔德不等式，声明一下，以免误会）——其证明可以由二及三，（由 n 及 n+1)，如本题，依 $(03)$式 \begin{align*}
&\quad\;(a_1^3+a_2^3+a_3^3)^1(b_1^3+b_2^3+b_3^3)^1(c_1^3+c_2^3+c_3^3)\\[1ex]
&\geqslant \Big(\sqrt{a_1^3b_1^3}+\sqrt{a_2^3b_2^3}+\sqrt{a_3^3b_3^3}\Big)^{\color{red}{2}}(c_1^3+c_2^3+c_3^3)^{\color{blue}{1}}\\[1ex]
&\geqslant\Big(\sqrt[3]{a_1^3b_1^3c_1^3}+\sqrt[3]{a_2^3b_2^3c_2^3}+\sqrt[3]{a_3^3b_3^3c_3^3}\Big)^3\\[1ex]
&=(a_1b_1c_1+a_2b_2c_2+a_3b_3c_3)^3.
\end{align*} 两次等号同时成立时，当且仅当 $a_1:a_2:a_3=b_1:b_2:b_3=c_1:c_2:c_3$ .



PS：恭喜你看到文末，你会发现以往偶常用 $(03)$ 式的等价形式：权方和不等式，致敬坛主 kuing 及坛友.

PS：元旦快乐.

isee

hbghlyj 发表于 2024-11-10 10:08
第一行的 $\big(a^\frac nm\big)^m$ 应该是 $a^\frac nm$ 吧。
第一行的 $\big(b^\frac n{n-m}\big)^{n-m ...

多谢多谢，是的是的，后来我也发现了，不过，没改.
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现在已经更正了