一个显而易见的定积分恒等式

青青子衿

一个显而易见的积分恒等式求代数证明
$\int_0^af(x) dx+\int_{f(0)}^{f(a)}f^{-1}(x) dx=af(a)$
其也有几何意义！

战巡

好久以前的东西了，不解释...

其妙

回复 2# 战巡
楼主遇到了高手了吧？

青青子衿

其变种就是定积分形式的杨氏（Young）不等式
设$f(x)$为定义域内严格单调递增函数（$\,x>0\,$），且过原点。
那么，对于任意的实数  ，皆成立：
$\displaystyle\,\!ab\leqslant\int_0^af(x)\mathrm{d}x+\int_0^bf^{-1}(x)\mathrm{d}x$ 。
（等号当且仅当$\,b=f(a)\,$时取得）
其中，$\,f^{-1}(x)\,$为该函数$\,f(x)\,$的反函数。

zhuanlan.zhihu.com/p/41654910