一个显而易见的定积分恒等式

青青子衿

一个显而易见的积分恒等式求代数证明
$\int_0^af(x) dx+\int_{f(0)}^{f(a)}f^{-1}(x) dx=af(a)$
其也有几何意义！

战巡

由于定积分求的是曲线和 $x$ 轴围成的面积，而其反函数的曲线和它关于 $y=x$ 对称，所以反函数在对应上下限内和 y 轴围成的面积和它是相等的，因此有定理：
\[\int_a^b f(x) d x+\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) d x=\left.x f(x)\right|_a^b\]证明：
令 $t=f(x)$，则 $x=f^{-1}(t)$
\begin{aligned}
& \int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(t) d t=\int_a^b x d f(x)=\int_a^b x f'(x) d x \\
& \int_a^b f(x) d x+\int_{f(a)}^{f(b)} f^{-1}(x) d x \\
& =\int_a^b f(x) d x+\int_a^b x f'(x) d x \\
& =\int_a^b f(x) d x+\int_a^b x d f(x) \\
& =\int_a^b f(x) d x+\left.x f(x)\right|_a ^b-\int_a^b f(x) d x \\
& =\left.x f(x)\right|_a ^b
\end{aligned}

其妙

回复 2# 战巡
楼主遇到了高手了吧？

青青子衿

其变种就是定积分形式的杨氏（Young）不等式
设$f(x)$为定义域内严格单调递增函数（$\,x>0\,$），且过原点。
那么，对于任意的实数  ，皆成立：
$\displaystyle\,\!ab\leqslant\int_0^af(x)\mathrm{d}x+\int_0^bf^{-1}(x)\mathrm{d}x$ 。
（等号当且仅当$\,b=f(a)\,$时取得）
其中，$\,f^{-1}(x)\,$为该函数$\,f(x)\,$的反函数。

zhuanlan.zhihu.com/p/41654910