Can神的一条二元不等式

v6mm131

已知正实数$a,b$满足$ a^{13}+b^{13}=2$. 证明：$\frac{5a^2}{b}+\frac{3b^3}{a^2}\geqslant 8$

战巡

回复 1# v6mm131


这个存在最小值么
令$b\to 0^-$就负无穷了

kuing

楼主估计打漏了条件

v6mm131

回复 3# kuing
oh 唔！打掉了正实数

其妙

好久没听过can神了，似乎那时正是包含k神，hjj等人在内的不等式人才之天下？

kuing

回复 5# 其妙

别拿我跟他们相提并论啊，不是一个级别

其妙

广东-胡经纬(5*****0)  13:54:08
已知正实数 $a, b$ 满足 $a^{13}+b^{13}=2$. 证明 $\frac{5 a^2}{b}+\frac{3 b^3}{a^2} \geqslant 8$

证明：
只需证明 $\left(\frac{5 a^2}{b}+\frac{3 b^3}{a^2}\right) ^{13} \geq \frac{8^{13}\left(a^{13}+b^{13}\right)}{2}$ 即可等价于：$$\left(5 a^4+3 b^4\right)^{13} \geq \frac{8^{13}\left(a^{39} b^{13}+a^{26} b^{26}\right)}{2}\tag1$$
构造8×52矩阵

利用此矩阵，由赫尔德不等式，可证得 （1）式成立，从而原命题成立。

hbghlyj

其妙 posted at 2015-1-25 07:15
利用此矩阵，由赫尔德不等式

卡尔松不等式（m×n矩阵每行元素之和的几何平均值不小于每列元素的几何平均值的和）$$\sqrt[m]{\prod_{i=1}^m\left(\sum_{j=1}^n x_{i j}\right)} \geq \sum_{j=1}^n\left(\sqrt[m]{\prod_{i=1}^m x_{i j}}\right)$$

kuing

hbghlyj 发表于 2025-4-10 00:55
卡尔松不等式（m×n矩阵每行元素之和的几何平均值不小于每列元素的几何平均值的和）$$\sqrt[m]{\prod_{i=1 ...

虽然你帮 7# 代码化了，然而 7# 的证明是错的。

7# 想表达的是各列之和的几何平均 `\geqslant` 各行的几何平均之和
——每列之和都是 `5a^4+3b^4`，所以 `\LHS=5a^4+3b^4`；
再看行，前四行 `a` 项与 `b` 项的数量比是 `3:1`，后四行是 `1:1`，所以 `\RHS=4a^3b+4a^2b^2`。
因此 7# 构造的 8×52 矩阵根据卡尔松得出的只是平凡的 `5a^4+3b^4\geqslant4a^3b+4a^2b^2`，并不是要证的不等式。

事实上这题在另一帖里讨论过了：forum.php?mod=viewthread&tid=7959，还加强到了 14 次