$x,y,a>0$ 且 $ax^2+y^4=a+16$ , 求 $\min_{a}\{\max\{x+y\}\}$

O-17

(2023奉贤中学三模16)
曲线 $T:ax^2+y^4=a+16~(a>0)$ 图像是类似椭圆的封闭曲线, $T$ 上动点 $P$  ( $P$ 在第一象限) 到直线 $y=-x$ 的距离的最大值为 $M(a)$ . 当实数 $a$ 变化时, 求 $M(a)$ 的最小值? ( $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ )

我的做法 (勉强能在考场上做个答案出来)
待定参数 $\lambda$ , 依均值不等式
$$
y^4+\lambda^2\geqslant2\lambda y^2
$$
再依 $\text{Cauchy-Schwarz}$ 不等式
$$
(ax^2+2\lambda y^2)\left(\frac1a+\frac1{2\lambda}\right)\geqslant(x+y)^2
$$
于是
$$
\frac{x+y}{\sqrt{2}}\leqslant\sqrt{\frac{ax^2+2\lambda y^2}2\left(\frac1a+\frac1{2\lambda}\right)}\leqslant\sqrt{\frac{ax^2+y^4+\lambda^2}2\left(\frac1a+\frac1{2\lambda}\right)}=\sqrt{\frac{a+16+\lambda^2}2\left(\frac1a+\frac1{2\lambda}\right)}
$$
为了对上取等, 有
$$
\begin{cases}
ax=2\lambda y\\
y^2=\lambda\\
ax^2+y^4=a+16
\end{cases}
\Rightarrow
a^2+(16-\lambda^2)a-4\lambda^3=0
\Rightarrow
a=\dfrac{(\lambda^2-16)+\sqrt{(16-\lambda^2)^2+16\lambda^3}}{2}
$$
于是只要求 $f(\lambda)$ 的最小值, 其中
$$
f(\lambda)=\left[\frac{\dfrac{(\lambda^2-16)+\sqrt{(16-\lambda^2)^2+16\lambda^3}}{2}+16+\lambda^2}2\left(\dfrac{2}{(\lambda^2-16)+\sqrt{(16-\lambda^2)^2+16\lambda^3}}+\frac1{2\lambda}\right)\right]^\tfrac12
$$
这坨东西考试的时候可以输到计算器里列表 (上海卷可以用 Casio991) 然后发现刚好在 $\lambda=4$ 时取最小值 $f(4)=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ .

有没有什么正常一点的方法?

isee

如果是我，改写为 $(x^2-1)a+y^4-16=0$ ，总过定点 $(1,2)\;\cdots $那就猜此点$(1,2)$ 到 $x+y=0$ 的距离最小值：$3/\sqrt 2$，至于证明，还未曾想到

退一步说，若正实数满足 $16x^2+y^4=32$，求 $x+y$ 的最小值，怕是除了猜等，最佳就是与楼主一样配方了吧

O-17

isee 发表于 2023-5-31 21:18
如果是我，改写为 $(x^2-1)a+y^4-16=0$ ，总过定点 $(1,2)\;\cdots $那就猜此点$(1,2)$ 到 $x+y=0$ 的距离 ...

我做的时候没想到数形结合...直接当成含参不等式

答案就是用这个定点, 但是说的不清不楚:

注意到无论 $a$ 为何值, 曲线都会过 $(1,2)$ , 如果点 $P$ 处的切线斜率为 $-1$ , 且 $P$ 不为 $(1,2)$ 时必有 $M(a)>\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ , 所以在 $P$ 为 $(1,2)$ 时, 才有最小值 $\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$ .

话说我也没配方啊(小声)

O-17

配方虽迟但到
正实数 $x,y$ 满足 $16x^2+y^4=32$ , 求证:  $x+y\leqslant3$ .
证. 反转命题, 即证 $x+y=3$ 时 $16x^2+y^4\geqslant32$ .
注意到
$$
144x^2(x+y)^2+81y^4-32(x+y)^4\equiv(28x^2+68xy+49y^2)(2x-y)^2\geqslant0
$$
代入约束即
$$
16x^2+y^4\geqslant32.~\square
$$

facebooker

我看到的不止一人用这个定点 直接推  充分必要性走一波

kuing

O-17 发表于 2023-5-31 22:14
我做的时候没想到数形结合...直接当成含参不等式

答案就是用这个定点, 但是说的不清不楚:

基于几何直观是很难说清楚的。

我尝试着说说：
`T` 过定点 `A(1,2)`，`A` 到 `y=-x` 的距离记为 `d_A`，过 `A` 作 `y=-x` 的平行线 `l`，若 `T` 在 `A` 处的切线不与 `l` 重合，则 `T` 与 `l` 在 `A` 处是相交的，于是必有一部分曲线在 `l` 的上方，这部分上的点到 `y=-x` 的距离就大于 `d_A`。
最后还得验证当 `T` 在 `A` 处的切线与 `l` 重合时最大距离就是 `d_A`（类似于 4# 那样）。

这样勉强算是说得清楚一些，但感觉还是太依赖直观。

isee

O-17 发表于 2023-5-31 22:31
配方虽迟但到
正实数 $x,y$ 满足 $16x^2+y^4=32$ , 求证:  $x+y\leqslant3$ .
证. 反转命题, 即证 $x+y=3$  ...

主要指 cauchy 配凑，但本质就是配方.

主要是类比椭圆下的充要条件就是相切.

kuing

换成代数语言会容易说点儿：

设第一象限内的 `T` 上的点 `(x,y)` 到 `y=-x` 的距离为 `d`，则
\[\sqrt2d=x+y=x+\sqrt[4]{a(1-x^2)+16}=f(x),\]
注意到 `f(1)=3`，那么，若 `f'(1)\ne0`，则 `x=1` 不是极值点，又不是端点，必有 `f(x)_{\max}>f(1)=3`。

具体求导计算后可知 `a=16\iff f'(1)=0`，此时
\[f'(x)=1-\frac x{(2-x^2)^{3/4}},\]
上式显然关于 `x` 递减，则当 `0<x<1` 时 `f'(x)>f'(1)=0`，当 `1<x<\sqrt2` 时 `f'(x)<f'(1)=0`，所以 `f(x)_{\max}=f(1)=3`。

总上，`f(x)_{\max}` 的最小值为 `3`，即 `d_{\max}` 的最小值为 `3/\sqrt2`。