Let \(F\) be a field and \(n\) be a positive integer. Fix an \(n \times n\) matrix \(S\) over \(F\) that is invertible and symmetric. Writing \(A^t\) for the transpose of a matrix, we let \[ V:=\left\{n \times n \text{ matrices } A \text { over } F: A^t=S A S^{-1}\right\} \] Note that \(V\) is a vec
行列式如下： \[ \begin{vmatrix} \binom{n+m}{n} & \binom{n+m}{n+1} & \binom{n+m}{n+2} & \cdots & \binom{n+m}{n+k-1}\\ \binom{n+m}{n-1} & \binom{n+m}{n} & \binom{n+m}{n+1} & \cdots & \binom{n+m}{n+k-2}\\ \vdots & \vdots & \vdots & \cdots & \vdots\\ \binom{n+m}{n-k+2} & \binom{n+m}{n-k+3} & \binom{n+m}
Johnson–Lindenstrauss引理表明高维数据可以被投影到低维空间中，同时近似保持点对之间的距离。 我们需要构造一个随机线性映射 $f: \mathbb{R}^N \to \mathbb{R}^n$，使得对于给定的 $\epsilon \in (0,1)$ 和 $m$ 个点 $\{x_1, \ldots, x_m\}$， \[ (1-\epsilon) \|x_i - x_j\|_2^2 \leq \|f(x_i) - f(x_j)\|_2^2 \leq (1+
https://www.bananaspace.org/wiki/讲义:示性类/陈–Weil_理论_(上) 定义 5. 9. $n$ 阶矩阵的不变多项式 (invariant polynomial)是指一个函数 \[ P \: \operatorname{M}_{n \times n} (ℂ) \to ℂ, \] 它是 $n^2$ 个矩阵元的多项式, 并满足对任意矩阵 $A$ 和可逆矩阵 $T$, 有 \[ P (TAT^{-1}) = P(A). \] 习题 5. 10. 设 $P
设$A_n$是一个由$1$到$n^2$组成的按对角线排列的$n\times n$行列式，例如 $$A_4=\begin{vmatrix} 1 & 2 & 4 & 7\\3 & 5 & 8 & 11\\ 6 & 9 & 12 & 14 \\ 10 & 13 & 15 & 16 \end{vmatrix}$$ 证明：当$n=2k$时，$A_n=\pm k(k+1)$；当$n=2k+1$时，$A_n=\pm(2k^2+2k+1)$。
GL(3,5)中的元素都是3×3的可逆矩阵，矩阵的行列式在$\mathbb F_5$不等于零。在GL(3,5)中满足$A^2=I$的矩阵共有多少个呢？ 一般来说，在域上，如果一个矩阵满足某个多项式方程，并且该多项式在该域上可以分解为不同的线性因子，那么该矩阵是可对角化的。这里，$x^2-1$分解为$(x-1)(x+1)$，所以在 $ \mathbb{F}_5$ 上，满足
[*]设\(A,B\)是\(n\)阶矩阵，满足\(AB = BA\)，证明：\(r(A + B) \leq r(A) + r(B) - r(AB)\)。 [*]设$A$是非零矩阵，证明$A$可以写成某个列满秩矩阵与某个行满秩矩阵的乘积。 [*]设\(A = \begin{pmatrix}1 & - 1 & - 1 & - 1 \\- 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{pmatrix}\)，求\(
Linear Algebra: Example Sheet 2 of 4 - DPMMS 14. 设 $A, B$ 为 n 阶实数矩阵，且 $\exists X \in \operatorname{Ker} A \setminus\{0\}$ 和 $B X \in \operatorname{Im} A$。设 $A_i$ 为用 $B$ 的第 $i$ 列替换 $A$ 的第 $i$ 列得到的矩阵。证明 $\sum_{i=1}^n \det A_i=0$。
\(\Large\bf 定理\,\normalsize{\text{8-1-2}}\)：设\(\boldsymbol{M}\)与\(\boldsymbol{N}\)为任意\(m\times n\)矩阵，恒有不等式： \[\large1-\sqrt{\displaystyle\det\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{M}\boldsymbol{M}^H\right)-1}\cdot\sqrt{\displaystyle\det\left(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{N}\boldsymbol{N}^H\r
柯西-比内公式（Cauchy–Binet formula）将行列式的可乘性（两个方块矩阵的行列式等于两个行列式的乘积）推广到非方块矩阵。 假设 A 是一个 m×n 矩阵，而 B 是一个 n×m 矩阵。如果 S 是 { 1, ..., n } 中具有 m 个元素的子集，我们记 A[sub]S[/sub] 为 A 中列指标位于 S 中的 m×m 子矩阵。类似地，记 B[sub]S[/sub] 为
七，$n$ 维单形不等式 $\mathbb R^n$ 中子集 $E$ 的任两点连线仍在 $E$ 中，称 $E$ 为凸体，包含 $R^*$ 中 $n_{-}$点 $A_1, \cdots, A_{n+1}$ 的最小凸体，称为由 $\left\{A_1, \cdots, A_{n+1}\right\}$ 张成的 $n$ 维单形 $n$-simplex $\sum(A)$ ．若 $A_1$ 的坐标为 $\left(x_{i 1}, \cdots, x_k\right)(1 \leqslant k
math19b_2011 lecture34.pdf Perron Frobenius theorem: If all entries of a $n \times n$ matrix $A$ are positive, then it has a unique maximal eigenvalue. Its eigenvector has positive entries.在Perron Frobenius theorem的证明中用到了$T$是压缩映射,但是没有证明$T$是压缩映射,只证明了$T$是$X$到$X$的映射
求下面 n 阶行列式的值： $$D_n=\begin{vmatrix} 1+x & x & x & \cdots & x & x \\ x & 2+x & x & \cdots & x & x \\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & \vdots & \vdots\\ \vdots & \vdots & \ddots & \ddots & x & \vdots\\ x & x & \cdots & x & n-1+x & x \\ x & x & x & \cdots & x & n+x \end{vmatrix}$$这
计算下面这个 10 阶矩阵的行列式： \begin{vmatrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\ 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 \\ 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 \\ 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 \\ 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\ 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
计算下面 n 阶行列式的值： 第 n 行用该行减去上一行代替，第 n-1 行用该行减去上一行代替，第 n-2 行用该行减去上一行代替，.......， 第 2 行用该行减去第 1 行代替，第 1 行不变。 如此变换后行列式的值不变。此时行列式为： 经计算知， D2= -2; D3= -3; D4=4; D5= 5; D6= -6; D7= -7; D8=8; D9=9; D10= -10; D
$$ D_n=\left|\begin{array}{cccccccc} 2 \cos \alpha & 1 & 0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 1 & 2 \cos \alpha & 1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 2 \cos \alpha & 1 & \cdots & 0 & 0 & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \vdots & & \vdots & \vdots & \vdots \\ 0 & 0 & 0 & 0 & \cdots & 1 & 2 \cos \alpha & 1
三对角行列式为\(D_{a,n}(x)\) \[D_{a,n}(x)=\left|\begin{array}{ccccccc} x&1&&&&&\\ n-1&x&2&&&&\\ &n-2&x& \ddots &&&\\ && \ddots & \ddots & \ddots && \\ &&& \ddots &x&n-2&\\ &&&&2&x&n-1\\ &&&&&1&x \end{array}\right|\] 三对角行列式为\(D_{b,n}(x)\) \[D_{b,n}(x)=\left|\begin{array}{ccccccc} x&1&&&&&\\ -(
设$V$是$n$维线性空间，$\sigma$是$V$上的线性变换，若$\sigma$不可逆，则是否有：$\sigma$既不是单射也不是满射？ 我觉得只要满足一个就行了，比如$\sigma$不是单射，则$\sigma$不可逆。或者$\sigma$不是满射，则$\sigma$不可逆。
设矩阵 $A=\left(\begin{array}{rccccc} 1^{2024} & 2^{2024} & 3^{2024} & \ldots & 4047^{2024} & 4048^{2024} \\ 2^{2024} & 3^{2024} & 4^{2024} & \ldots & 4048^{2024} & 4049^{2024} \\ 3^{2024} & 4^{2024} & 5^{2024} & \ldots & 4049^{2024} & 4050^{2024} \\ \ldots 0^{2024} & 4048^{2024} & 4049^{2024} & \ld
请利用行列式的有关性质证明：$\begin{vmatrix} a & -b \\ b & a \end{vmatrix}\begin{vmatrix} c & -d \\ d & c \end{vmatrix}\geqslant\begin{vmatrix} a & -b \\ d & c \end{vmatrix}^2$
Hoffman & Kuntze, Linear Algebra, page 190 根据题设 $T(X) = AX$，$X\in V$。 $\alpha\in F$ 是$T$ 的特征值则存在 $X\neq 0$ 满足 $T(X) = \alpha X$，即 $AX = \alpha X = \alpha IX$ 只要$X$不为$0$矩阵，就有非零列向量，$\lambda I-A$就有非零的零空间，就奇异，于是$\lambda$是$A$的特征值。但若$X$不可逆怎么推
Hoffman & Kuntze, Linear Algebra, page 231 7. Let $V$ be an $n$-dimensional vector space, and let $T$ be a linear operator on $V$.\n Suppose that $T$ is diagonalizable.\n(b) If $T$ has $n$ distinct eigenvalues, and if $\{a_1, \dots , a_n\}$ is a basis of eigenvectors for $T$, show that $a = a_1 + \d
If $A$ is a complex $n \times n$ matrix such that $A^t=-A$, then $A$ is 0. Proof: Let $J$ be the Jordan form of $A$. Since $A^t=-A, J^t=-J$. But $J$ is triangular so that $J^t=-J$ implies that every entry of $J$ is zero. Since $J=0$ and $A$ is similar to $J$, we see that $A=0$.
设$A, C$分别是$n$阶和$m$阶实对称矩阵，$B$为$n \times m$阶实矩阵且$\begin{bmatrix} A & B\\ B^T & C \end{bmatrix}$正定，求证$\det\left(\begin{bmatrix} A & B\\ B^T & C \end{bmatrix}\right) \le \det(A)\det(C)$，当且仅当$B = 0$时取等号。 我做到这里： 令$P = \begin{bmatrix} E_n & -A^{-1}B\\ 0 & E_m \end
$M=(m_{ij})$为实正定矩阵,求证 (i)$m_{ii}>0$ (ii)$|m_{ij}|<\sqrt {m_{ii}m_{jj}}$ 证明 (i)设向量$x$的第$i$个坐标为1,其它均为0,则$x^{\sf T}Mx=m_{ii}>0$. (ii)设向量$x$的第$i$个坐标为1,第$j$个坐标为$k$,其它均为0, 则$x^{\sf T}Mx=m_{ii}+2km_{ij}+k^2m_{jj}>0$对所有$k$成立,所以$|m_{ij}|<\sqrt{m_{ii}m_{jj}}
高代部分的第三题好像是道错题. 原题 对 $n$ 阶正定矩阵 $A$ 以及列数为 $n$ 的矩阵 $H$, $A-H^TH$ 正定等价于 $I-HA^{-1}H^T$ 正定. [details=若不要求 $A$ 是对称的, 则有如下反例]\begin{align*} A-H^TH&= \begin{pmatrix} 1&0\\1&1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \sqrt{7/8}\\\sqrt{7/8} \end{pmatrix} \cdot \b
Weinstein–Aronszajn identity：對任意兩方陣 $ A,B $，其特徵多項式 $ p_{AB}(t)=p_{BA}(t) $. How can we prove Sylvester's determinant identity? ab, ba, and the spectrum 當 $A$ 是非奇異矩陣，$AB$ 和 $BA$ 相似：$ {\displaystyle BA=A^{-1}(AB)A.} $ 當$A$和$B$都是奇異矩陣，$AB$和$BA$不一定相似。反例：取 $$
$A\in M_{n×n}(\Bbb Q)$，则$A$ 相似于 $A$ 的特征多项式的友矩阵当且仅当$A$ 的特征多项式与 $A$ 的极小多项式相等(等价于 $A$ 的极小多项式次数为$n$)
如果 $p(t)$ 有一个重根，则 $C(p)$ 不可对角化 如果 $p(t)$ 的根都是单根，则 $C(p)$ 可对角化 $VC(p)V^{-1}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$ 其中 $V$ 是对应于 $λ_1,\dots,\lambda_n$ 的 Vandermonde 矩阵。
复数域上$n$维线性空间$V$的线性变换$\underline A$的所有特征值组成的$n$元数组$(λ_1,λ_2,⋯,λ_n)$称为$\underline A$的谱(spectrum),如果$\underline A$的所有特征值都是1重的,则$\underline A$的谱称为单的. 设$\underline A$的谱是单的. (1)证明:如果线性变换$\underline B$与$\underline A$可交换,即$\underline{BA
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