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- 设\(A,B\)是\(n\)阶矩阵，满足\(AB = BA\)，证明：\(r(A + B) \leq r(A) + r(B) - r(AB)\)。
- 设$A$是非零矩阵，证明$A$可以写成某个列满秩矩阵与某个行满秩矩阵的乘积。
- 设\(A = \begin{pmatrix}1 & - 1 & - 1 & - 1 \\- 1 & 1 & - 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & 1 & - 1 \\ - 1 & - 1 & - 1 & 1 \end{pmatrix}\)，求\(\sum_{i,j = 1}^{4}A_{ij}\)。
- 设\(n\)阶矩阵\(A = \begin{pmatrix}2 & 2 & 2 & \cdots & 2 \\0 & 1 & 1 & \cdots & 1 \\0 & 0 & 1 & \cdots & 1 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\0 & 0 & 0 & \cdots & 1\end{pmatrix}\)，求\(A\)的所有代数余子式之和；
- 设$n$阶非零实矩阵\(A = (a_{ij})\)，\(n \geq 3\)，如果\(a_{ij} = A_{ij}\)，证明：
（1）\(r(A) = n\)；（2）\(A\)是正交矩阵。 - 设\(A = (a_{ij})_{n \times n}\)，如果\(\sum_{j = 1}^{n}a_{ij} = 0,\) \(i = 1,2,\cdots,n\)。求证：
\(A_{11} = A_{12} = \cdots = A_{1n}\)，其中\(A_{ij}\)为\(a_{ij}\)的代数余子式。 - （1）设\(A,B\)是\(n\)阶矩阵，\(A,B\),\(A + B\)均可逆，证明：\(A^{- 1} + B^{- 1}\)也可逆，并求
其逆。
（2）设\(A,I - A,I - A^{- 1}\)均为可逆矩阵，证明：\((I - A)^{- 1} + (I - A^{- 1})^{- 1} = I.\) - 设有分块矩阵\(\begin{pmatrix}
A & B \\
C & D
\end{pmatrix}\)，其中\(A,D\)都可逆，证明：
（1）\(\left| \begin{matrix}
A & B \\
C & D
\end{matrix} \right| = \det(A - BD^{- 1}C)\det D\)；
（2）\((A - BD^{- 1}C)^{- 1} = A^{- 1} - A^{- 1}B(CA^{- 1}B - D)^{- 1}CA^{- 1}\)。 - 设\(A,B \in P^{n \times n}\)，求证：\((AB)^{*} = B^{*}A^{*}\)。
- 任给\(A,B,C \in P^{n \times n}\)，证明:
（1）\(r(A) + r(B) \leq r(AB) + n\)；
（2）\(r(AB) + r(BC) \leq r(ABC) + r(B).\) - 设\(A,B\)是$n$阶矩阵，证明：
（1）\(r(A - ABA) = r(A) + r\left( I_{n} - BA \right) - n\)；
（2）若\(A + B = I_{n}\)，且\(r(A) + r(B) = n\)，则\(A^{2} = A,B^{2} = B\)，且\(AB = BA = 0.\)
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