n阶矩阵的不变多项式

hbghlyj

bananaspace.org/wiki/讲义:示性类/陈–Weil_理论_(上)
定义 5. 9.
$n$ 阶矩阵的不变多项式 (invariant polynomial)是指一个函数
\[ P \: \operatorname{M}_{n \times n} (ℂ) \to ℂ, \]
它是 $n^2$ 个矩阵元的多项式, 并满足对任意矩阵 $A$ 和可逆矩阵 $T$, 有
\[ P (TAT^{-1}) = P(A). \]
习题 5. 10.
设 $P$ 是 $n$ 阶矩阵的不变多项式. 则 $P$ 一定是矩阵的 $n$ 个特征值的对称多项式,
由此推出 $P$ 一定具有
\[ P (A) = p ( \operatorname{tr}A, \operatorname{tr}A^2, \dotsc, \operatorname{tr} A^n ) \]
的形式, 其中 $p$ 是多项式.

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$\DeclareMathOperator{\tr}{tr}\DeclareMathOperator{\diag}{diag}$设矩阵 $A$ 在 $\mathbb{C}$ 上可对角化（一般情况可用Jordan标准形），即存在可逆矩阵 $S$ 使$$A = S\diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)S^{-1}.$$由于 $P$ 是不变多项式，对任意可逆 $T$ 有$$P(A) = P(S\diag(\lambda_i)S^{-1})= P(\diag(\lambda_i)).$$因此 $P(A)$ 完全由对角元 $\lambda_1,\dots,\lambda_n$ 决定，不含 $S$。

对称性：可对特征值置换
对角矩阵 $\diag(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 与 $\diag(\lambda_{\sigma(1)},\dots,\lambda_{\sigma(n)})$ 相似，仅需取置换矩阵 $P_\sigma$。于是$$P(\diag(\lambda_{\sigma(1)},\dots,\lambda_{\sigma(n)}))
  = P(P_\sigma\diag(\lambda_i)P_\sigma^{-1})
  = P(\diag(\lambda_i)).$$这说明作为 $(\lambda_1,\dots,\lambda_n)$ 的函数，$P$ 对任意置换 $\sigma$ 不变，即是对称多项式。

对称多项式 → 初等对称多项式
对称多项式基本定理告诉我们：任意对称多项式都可唯一写成初等对称多项式$$e_k(\lambda_1,\dots,\lambda_n)
  = \sum_{1\le i_1<\cdots<i_k\le n} \lambda_{i_1}\cdots\lambda_{i_k}
\quad(k=1,\dots,n)$$的多项式。因此存在单变量多项式 $q$ 使$$P(A)
  = Q(\lambda_1,\dots,\lambda_n)
  = q(e_1,e_2,\dots,e_n).$$

从初等对称多项式到迹的多项式
矩阵 $A$ 的特征多项式为$$\chi_A(t)
  = \det(tI - A)
  = t^n - e_1t^{n-1} + e_2t^{n-2} - \cdots + (-1)^n e_n.$$因此 $e_k$ 就是 $\chi_A$ 的系数。

牛顿恒等式将初等对称多项式 $e_k$ 与幂和多项式 $p_k = \sum_{i=1}^n \lambda_i^k = \tr(A^k)$ 联系起来。形式为$$ke_k = \sum_{i=1}^{k} (-1)^{i-1}e_{k-i}p_i,
  \quad e_0=1.$$由此可递归地把每个 $e_k$ 表示为 $\tr A, \tr A^2, \dots, \tr A^k$ 的多项式。