计算 10 阶矩阵的行列式

TSC999

计算下面这个 10 阶矩阵的行列式：
\begin{vmatrix}
1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 \\
2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 \\
3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 \\
4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 \\
5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 & 4 \\
6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\
7 & 8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 \\
8 & 9 & 10 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 \\
9 & 10 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 \\
10 & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9
\end{vmatrix}

TSC999

按上面矩阵的排列规律，对于 n 阶矩阵，其行列式的值是不是等于：
\((-1)^{n-1}\frac{n+1}{2}n^{n-1}\)

如何推出上面这个公式？

这个 n 阶矩阵的排列规律是，最小数字是 1，最大数字是 n。第一行是从 1 排到 n，第一列也是从 1 排到 n。第二行等于第一行循环左移一位，第三行等于第二行循环左移一位，以此类推。
因此，当 n=2 时，第二行是 2、1，而不是 2、3。
当 n=3 时，第二行是 2、3、1，第三行是 3、1、2。
当 n=4 时，第二行是 2、3、4、1，第三行是 3、4、1、2，第四行是 4、1、2、3。
以此类推。

Czhang271828

TSC999 发表于 2024-10-12 13:11
按上面矩阵的排列规律，对于 n 阶矩阵，其行列式的值是不是等于：
\((-1)^{n-1}\frac{n+1}{2}n^{n-1}\)

行交换, 使得主对角线全 $10$. 行列式差 $(-1)^k$, 具体就不算了. 得到矩阵
$$
1Z+2Z^2+3Z^3+\cdots +9Z^9+10 Z^{10}=:f(Z).
$$
显然 $Z$ 和 $Z^k$ 是可以同时对角化的. $Z$ 的极小多项式 $Z^{10}=I$, 其特征值 $\{e^{2 k\pi i/10}\}_{k=0}^9$. 从而 $\prod_{k=0}^9f(e^{2 k \pi i/10})$ 即为所求的行列式.

之后就是单位根恒等式变换了, 转化为高中内容, 略. 一般给出一个简单的答案, 那就是对的.

kuing

对于行列式
\[\newcommand\adots{.\raise0.7ex.\raise1.4ex.}
\begin{vmatrix}
1 & 2 & \cdots & \cdots & n-1 & n \\
2 & 3 & \cdots & n-1 & n & 1 \\
\vdots & \vdots & \adots & \adots & 1 & 2 \\
\vdots & n-1 & \adots & \adots & \adots & \vdots\\
n-1 & n & 1 & \adots & \adots & \vdots\\
n & 1 & 2 & \cdots & \cdots & n-1
\end{vmatrix},\]
倒数第二行 `\times(-1)` 加到最后一行、
倒数第三行 `\times(-1)` 加到倒数第二行、
倒数第四行 `\times(-1)` 加到倒数第三行、
如此类推，直到第一行 `\times(-1)` 加到第二行，变成
\[\begin{vmatrix}
1 & 2 & \cdots & \cdots & n-1 & n \\
1 & 1 & \cdots & 1 & 1 & 1-n \\
\vdots & \vdots & \adots & 1 & 1-n & 1 \\
\vdots & \vdots & \adots & \adots & \adots & \vdots\\
1 & 1 & 1-n & 1 & \cdots & 1 \\
1 & 1-n & 1 & \cdots & \cdots & 1
\end{vmatrix},\]
（即第一行没变，其余行里每行都有一个 `1-n` 且连成斜向上的形状，其余都是 `1`）
然后第二列至最后一列均减去第一列（也就是除第一列外，所有数均减 `1`），变成
\[\begin{vmatrix}
1 & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -n \\
\vdots & \vdots & \adots & 0 & -n & 0 \\
\vdots & \vdots & \adots & \adots & \adots & \vdots\\
1 & 0 & -n & 0 & \cdots & 0 \\
1 & -n & 0 & \cdots & \cdots & 0
\end{vmatrix},\]
然后第二列至最后一列均乘以 `1/n` 加到第一列中，变成
\[\begin{vmatrix}
1+\frac1n+\frac2n+\cdots+\frac{n-1}n & 1 & 2 & \cdots & n-2 & n-1 \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 & -n \\
\vdots & \vdots & \adots & 0 & -n & 0 \\
\vdots & \vdots & \adots & \adots & \adots & \vdots\\
0 & 0 & -n & 0 & \cdots & 0 \\
0 & -n & 0 & \cdots & \cdots & 0
\end{vmatrix},\]
按第一列展开就是
\[\left(1+\frac1n+\frac2n+\cdots+\frac{n-1}n\right)
\begin{vmatrix}
0 & \cdots & 0 & 0 & -n \\
\vdots & \adots & 0 & -n & 0 \\
\vdots & \adots & \adots & \adots & \vdots\\
0 & -n & 0 & \cdots & 0 \\
-n & 0 & \cdots & \cdots & 0
\end{vmatrix},\quad\text{（此行列式为 $n-1$ 阶）}\]
也就是
\[\left(1+\frac1n+\frac2n+\cdots+\frac{n-1}n\right)(-n)^{n-1}(-1)^{(n-1)(n-2)/2},\]
化简后，最终答案就是
\[\frac{n+1}2n^{n-1}(-1)^{n(n-1)/2}.\]
（与楼主 2# 结出的符号不一样）
`n=1` 到 `10` 数值分别为 1, -3, -18, 160, 1875, -27216, -470596, 9437184, 215233605, -5500000000。

TSC999

Kuing 的做法完全正确！我那个符号表达式错了。
不知道竖向三点和斜向三点是如何输入的？
还有行列式左右那两道长长的竖线是如何输入的？

kuing

TSC999 发表于 2024-10-12 18:26
Kuing 的做法完全正确！我那个符号表达式错了。
不知道竖向三点和斜向三点是如何输入的？
还有行列式左右那 ...

竖向三点：\vdots `\vdots`
斜向三点有两种：
斜向下 \ddots `\ddots`
而斜向上似乎 MathJax 没有提供，上面我是临时自定义了命令（非标准定义，就不说了）。
竖线用的是 vmatrix 环境：

1. \begin{vmatrix}
2. a & b \\
3. c & d
4. \end{vmatrix}

Copy the Code

$\begin{vmatrix}
a & b \\
c & d
\end{vmatrix}$