友矩阵可对角化吗

hbghlyj

如果 $p(t)$ 有一个重根，则 $C(p)$ 不可对角化
如果 $p(t)$ 的根都是单根，则 $C(p)$ 可对角化 $VC(p)V^{-1}=\operatorname {diag} (\lambda _{1},\dots ,\lambda _{n})$
其中 $V$ 是对应于 $λ_1,\dots,\lambda_n$ 的 Vandermonde 矩阵。

hbghlyj

由“$p(t)$是$C(p)$的最小多项式”得到

$p(t)$ 有一个重根，则 $C(p)$ 不可对角化
$p(t)$ 的根都是单根，则 $C(p)$ 可对角化

剩下需要证明 $V$ 的各列是特征向量 刚才搜Vandermonde 搜到相关帖子

Czhang271828

hbghlyj 发表于 2023-6-20 07:59
本帖最后由 hbghlyj 于 2023-6-20 01:35 编辑 由“$p(t)$是$C(p)$的最小多项式”得到$p(t)$ 有一个重根， ...

曾经在此楼提到过, 多项式 $(\lambda-1)^n$ 对应的友矩阵只有一个 Jordan 块. 类似地, 记多项式 $p$ 的根为 $\lambda_i$, 重数 $n_i$, 则友矩阵的 Jordan 标准型为分块对角矩阵
\[
\mathrm{diag}\Big[J_{n_1}(\lambda_1),J_{n_2}(\lambda_2),\ldots , J_{n_s}(\lambda_s)\Big].
\]
因此友矩阵可对角化当且仅当 $n_i=1$. 此时
\[
(\lambda_i^0,\lambda_i^1,\ldots ,\lambda _i^{n-2},\lambda_i^{n-1})\cdot \begin{pmatrix}0&0&\dots &0&-c_{0}\\1&0&\dots &0&-c_{1}\\0&1&\dots &0&-c_{2}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots &\vdots \\0&0&\dots &1&-c_{n-1}\end{pmatrix}=\lambda_i(\lambda_i^0,\lambda_i^1,\ldots ,\lambda _i^{n-2},\lambda_i^{n-1}).
\]
其中 $\lambda$ 是 $p(t)=c_{0}+c_{1}t+\cdots +c_{{n-1}}t^{{n-1}}+t^{n}$ 的根. 因此
\[
\Big((\lambda_i^{j-1})_{1\leq i,j\leq n}\Big)\cdot C=\mathrm{diag}(\lambda_1,\ldots ,\lambda_n)\cdot \Big((\lambda_i^{j-1})_{1\leq i,j\leq n}\Big).
\]