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本帖最后由 hbghlyj 于 2024-11-5 21:57 编辑 问题 374 (一般循环矩阵的行列式)
设 \[A=\begin{bmatrix}
a_0 & a_1 & \dots & a_{n-2} &a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_0 & \dots & a_{n-3} & a_{n-2} \\
a_{n-2} & a_{n-1} & \dots & a_{n-4} & a_{n-3} \\
\vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\
a_{2} & a_3 & \dots & a_{0} & a_{1}\\
a_{1} & a_2 & \dots & a_{n-1} & a_{0}
\end{bmatrix}\]
是一个复数 $n \times n$ 矩阵。
这样的矩阵称为循环矩阵。
证明循环矩阵 $A$ 的行列式为
\[\det(A)=\prod_{k=0}^{n-1}(a_0+a_1\zeta^k+a_2 \zeta^{2k}+\cdots+a_{n-1}\zeta^{k(n-1)}),\]
其中 $\zeta=e^{2 \pi i/n}$ 是一个原始的 $n$ 次单位根。
证明。
设 $\omega$ 为任意的 $n$ 次单位根。
考虑向量
\[\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
1 \\
\omega \\
\omega^2 \\
\vdots \\
\omega^{n-1}
\end{bmatrix}.\]
我们证明向量 $\mathbf{v}$ 是 $A$ 的特征向量。
我们计算
\begin{align*}
A\mathbf{v}=\
\begin{bmatrix}
a_0 & a_1 & \dots & a_{n-2} &a_{n-1} \\
a_{n-1} & a_0 & \dots & a_{n-3} & a_{n-2} \\
a_{n-2} & a_{n-1} & \dots & a_{n-4} & a_{n-3} \\
\vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\
a_{2} & a_3 & \dots & a_{0} & a_{1}\\
a_{1} & a_2 & \dots & a_{n-1} & a_{0}
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 \\
\omega \\
\omega^2 \\
\vdots \\
\omega^{n-1}\\
\end{bmatrix}.
\end{align*}
向量 $A\mathbf{v}$ 的第一个分量是
\[a_0+a_1\omega+a_2\omega^2+\cdots a_{n-2}\omega^{n-2}+a_{n-1}\omega^{n-1}=:\lambda.\]
我们定义 $\lambda$ 为这个数。
第二个分量是
\begin{align*}
&a_{n-1}+a_0\omega+\cdots+a_{n-3}\omega^{n-2}+a_{n-2}\omega^{n-1}\\
&=(a_{n-1}\omega^{n-1}+a_0+\cdots+a_{n-3}\omega^{n-3}+a_{n-2}\omega^{n-2})\omega \\
&=(a_0+\cdots+a_{n-3}\omega^{n-3}+a_{n-2}\omega^{n-2}+a_{n-1}\omega^{n-1})\omega \\
&=\lambda \omega
\end{align*}
类似地，向量 $A\mathbf{v}$ 的第 $i$ 个分量是
\begin{align*}
&a_{n-i+1}+a_{n-i+2}\omega +\cdots+ a_{n-i}\omega^{n-1}\\
&= (a_{n-i+1}\omega^{n-i+1}+a_{n-i+2}\omega^{n-i+2} +\cdots+ a_{n-i}\omega^{n-i})\omega^{i-1}\\
&=\lambda \omega^{i-1} .
\end{align*}
因此我们得到
\[A\mathbf{v}=\begin{bmatrix}
\lambda \\
\lambda\omega \\
\lambda \omega^2 \\
\vdots \\
\lambda\omega^{n-1}
\end{bmatrix}=\lambda \mathbf{v}.\]
由于 $\mathbf{v}$ 是一个非零向量，因此 $\lambda$ 是 $A$ 的一个特征值，$\mathbf{v}$ 是对应于 $\lambda$ 的特征向量。
上述论证对任意的 $n$ 次单位根 $\omega$ 都成立。
我们取 $\omega=\zeta^k$，其中 $k$ 从 $0$ 到 $n-1$。
由此可得向量
\[\mathbf{v}_k:=\begin{bmatrix}
1 \\
\zeta^k \\
\zeta^{2k} \\
\vdots \\
\zeta^{k(n-1)}
\end{bmatrix}\]
是对应于特征值
\[\lambda_k:=a_0+a_1\zeta^k+a_2\zeta^{2k}+\cdots a_{n-2}\zeta^{k(n-2)}+a_{n-1}\zeta^{k(n-1)}\]
的特征向量，对于每个 $k=0,1, \dots, n-1$。
我们声称向量 $\mathbf{v}_k$ 是线性独立的。
为了证明这一点，构造一个矩阵，其列向量是这些向量。即我们考虑
\[B=\begin{bmatrix}
1& 1 & 1 & \dots & 1 &1 \\
1&\zeta & \zeta^{2} & \dots & \zeta^{n-2} & \zeta^{n-1} \\
1&\zeta^{2} & \zeta^{4} & \dots & \zeta^{2(n-2)} & \zeta^{2(n-1)} \\
1& \zeta^{3} & \zeta^{6} & \dots & \zeta^{3(n-2)} & \zeta^{3(n-1)} \\
\vdots& \vdots & \vdots & \dots & \vdots & \vdots \\
1& \zeta^{n-1} & \zeta^{2(n-1)} & \dots & \zeta^{(n-1)(n-2)} &\zeta^{(n-1)(n-1)}
\end{bmatrix}.\]
这是范德蒙矩阵，其行列式为
\[\det(B)=\prod_{i < j }(\zeta^j-\zeta^i)\neq 0.\]
因此，矩阵 $B$ 是非奇异的，因此其列向量是线性独立的。
由此可得 $\lambda_k$，$k=0, 1, \dots, n$ 是 $A$ 的所有特征值。
由于行列式是 $A$ 的所有特征值的乘积，我们有
\begin{align*}
\det(A)&=\prod_{k=0}^{n-1}\lambda_k\\
&=\prod_{k=0}^{n-1}(a_0+a_1\zeta^k+a_2 \zeta^{2k}+\cdots+a_{n-1}\zeta^{k(n-1)}),
\end{align*}
如所要求的。这完成了证明。 |
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Czhang271828
发表于 2023-2-28 14:33
