复数不等式

jhsinutopia

$x,y,z\in\mathbb{C}$, $|x|^2+|y|^2+|z|^2=1$
Prove that: $|x^3+y^3+z^3-3xyz|\le1$

hbghlyj

给定条件意味着矩阵的每个列向量
\[A = \begin{bmatrix*}
x & y & z\\
y & z & x\\
z & x & y
\end{bmatrix*}\]的模为1，因此根据Hadamard不等式
\[|x^3 + y^3 + z^3 - 3xyz| = \left|\det A\right| \le 1.\]

kuing

以前证过实数范围内的（《撸题集》P.897），没想到在复数范围也成立😃

能否利用实数范围内的结果来证明呢？
（看来不太行，毕竟 `\abs{x^3+y^3+z^3-3xyz}\leqslant\abs x^3+\abs y^3+\abs z^3-3\abs{xyz}` 是不成立的😥