求特征值

hbghlyj

$A=\left(\begin{matrix}1&\cdots&1\\⋮& &⋮\\1&\cdots&1\end{matrix} \right)_{p\times q},B=\left(\begin{matrix}1&\cdots&1\\⋮& &⋮\\1&\cdots&1\end{matrix} \right)_{q\times p},$求$\left(\begin{matrix}O&A\\B&O\end{matrix} \right)$的特征值是$\pm\sqrt{pq},0$

Czhang271828

特征值$0$的重数（multiplicity）为$p+q-2$，因为$\mathrm{rank}(\left(\begin{array}{cc}O&A\\B&O\end{array}\right))=p+q-2$。设另外两个特征值为$\lambda_1$、$\lambda_2$，由相似矩阵迹相等知$\lambda_1+\lambda_2=0$。而$\det(A^TA)=-\sum_{i\neq j}A_{ij}A_{ji}=-pq$，故$\lambda_{1,2}=\pm\sqrt{pq}$。

最近在看谱图论，这题就是求 the complete bipartite graph $K_{p,q}$ 的 spectrum 了。

The complete bipartite graph 构造简单：设$V_1$和$V_2$分别为含有$p$和$q$个点（vertices）的集合，作出所有以两集合点为端点的边（Edges）即可，共$pq$条。如上所构造出的边和点构成的图即是$K_{p,q}$ （the complete bipartite graph）。

spectrum 是指图对应的邻接矩阵（adjacency matrix）的特征值和重数。邻接矩阵$A$元素为 $0$ 和 $1$，$a_{ij}=1$当且仅当编号为$i$和$j$的点由边相连（反之$a_{ij}=0$）。因此 $\left(\begin{array}{cc}O&A\\B&O\end{array}\right)$ 是$K_{p,q}$的邻接矩阵。$K_{p,q}$ 的图谱为$(0^{(p+q-2)},\sqrt{pq}^{(1)},-\sqrt{pq}^{(1)})$。