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math.stackexchange.com/questions/4459386
证明:
定义矩阵$B$为$$B_{ij}=\begin{cases}1&j=i-1\bmod n\\0&\text{其他}
\end{cases}$$
$B$的特征值为$n$次单位根$\lambda_k=e^{2kπi/n}\;(k=0,1,\cdots,n-1)$
所以$A=B+B^{\sf T}=B+B^{n-1}$, 所以$A$的特征值为$\lambda_k+\lambda_k^{n-1}=\lambda_i+\lambda_i^{-1}=2\cos(2kπi/n)$
当$n$为奇数时, 特征值$2$的重数为1, 剩下的$2\cos(2kπi/n)\;(k=1,\cdots,n-1)$的重数为2.
当$n$为偶数时, 特征值$±2$的重数为1, 剩下的$2\cos(2kπi/n)\;(k=1,\cdots,\frac n2-1,\frac n2+1,\cdots,n-1)$的重数均为2.
使用Matlab/Octave计算(由单位矩阵circshift得到$B$,然后$A=B+B^{\sf T}$):
for n=3:6
B=circshift(eye(n),1,2);
eig(B+B')
end
ans =
-1.0000
-1.0000
2.0000
ans =
-2.0000
0
0.0000
2.0000
ans =
-1.6180
-1.6180
0.6180
0.6180
2.0000
ans =
-2.0000
-1.0000
-1.0000
1.0000
1.0000
2.0000
例子
$\def\vec#1#2#3{\left(\array{#1\\#2\\#3}\right)}$当$n=3$时 $A=\left(
\begin{array}{ccc}
0 & 1 & 1 \\
1 & 0 & 1 \\
1 & 1 & 0 \\
\end{array}
\right)$ 的特征值为 $2,-1,-1$, 特征向量为$\vec111,\vec{-1}01,\vec{-1}10$ |
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