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GL(3,5)中的元素都是3×3的可逆矩阵，矩阵的行列式在$\mathbb F_5$不等于零。在GL(3,5)中满足$A^2=I$的矩阵共有多少个呢？
一般来说，在域上，如果一个矩阵满足某个多项式方程，并且该多项式在该域上可以分解为不同的线性因子，那么该矩阵是可对角化的。这里，$x^2-1$分解为$(x-1)(x+1)$，所以在 $ \mathbb{F}_5$ 上，满足 $A^2=I$ 的可逆 $3\times3$ 矩阵都可对角化，其特征值只能是 $1$ 或 $-1$。设 $r$ 个特征值为 $1$ 计算该情形下矩阵的数量：
选取 $1$–特征子空间：在 $3$ 维向量空间中选一个维数为 $r$ 的子空间，方法数为高斯二项式$$\binom{3}{r}_5=\begin{cases}1, & r=0,3,\\\frac{5^3-1}{5-1}=31, & r=1,2.\end{cases}
$$
选取互补的 $-1$–特征子空间：对于固定的 $r$ 维子空间，共有
$$5^{\,r(3-r)}$$
种互补子空间（math.stackexchange.com/questions/140946）的选法。
一旦确定了这两块特征子空间，矩阵在它们上的作用分别就是 $I$ 和 $-I$，故唯一。
因此，总数为
$$
\sum_{r=0}^3 \binom{3}{r}_5 \;5^{\,r(3-r)}
\;=\;
1\cdot5^{0} \;+\;
31\cdot5^{2} \;+\;
31\cdot5^{2} \;+\;
1\cdot5^{0}
\;=\;
1 + 775 + 775 + 1
\;=\;
1552.
$$ |
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