求 由$1$到$n^2$组成的按对角线排列的$n\times n$行列式

isee

设$A_n$是一个由$1$到$n^2$组成的按对角线排列的$n\times n$行列式，例如
$$A_4=\begin{vmatrix}
1 & 2 & 4 & 7\\3 & 5 & 8 & 11\\ 6 & 9 & 12 & 14 \\ 10 & 13 & 15 & 16
\end{vmatrix}$$
证明：当$n=2k$时，$A_n=\pm k(k+1)$；当$n=2k+1$时，$A_n=\pm(2k^2+2k+1)$。

isee

猛的发现此题还没有证明过程。。。。。。

hbghlyj

按对角线排列所得第 \((i,j)\) 元素$$
a_{i,j}
=\frac{(i+j-2)(i+j-1)}{2}+i.
$$
通过对第 $i$ 行减去第 $i-1$ 行（$i=n,n-1,\dots,2$）的初等变换，可将 $A_n$ 化为新矩阵 $B_n$，其中
$$
b_{i,j}=
\begin{cases}
a_{1,j},&i=1,\\
a_{i,j}-a_{i-1,j}=i+j-1,&i\ge2.
\end{cases}
$$
对最后一行拉普拉斯展开得
$$
\det A_n=\det B_n=(-1)^{n-1}\det A_{n-1}+\det A_{n-2}.
$$
初值 $D_1=1,D_2=2$ 可直接计算。解此二阶线性递推，
$$
\det A_{2k}=\pm k(k+1),\qquad
\det A_{2k+1}=\pm(2k^2+2k+1).
$$