求证两个正数满足条件$a^2+b^2=1$的二元不等式

lemondian

若正数$a,b$满足$a^2+b^2=1$，则
（1）当$n=1$或$2$时,$2<(2a^n+b^n)(a^n+2b^n)\leqslant \dfrac{9}{2^n}$；
（2）当$n\geqslant 3,n\inN^*$时，$\dfrac{9}{2^n}\leqslant (2a^n+b^n)(a^n+2b^n)<2 $。

kuing

（1）就不写了；

（2）先证右边，等价于
\[(2a^n+b^n)(a^n+2b^n)<2(a^2+b^2)^n,\]
展开为
\[2(a^{2n}+b^{2n})+5a^nb^n<2(a^{2n}+C_n^1a^{2n-2}b^2+\cdots+C_n^{n-1}a^2b^{2n-2}+b^{2n}),\]
（当 `n=3` 时没有省略号）即
\[5a^nb^n<2(na^{2n-2}b^2+\cdots+na^2b^{2n-2}),\]
由 `n\geqslant3` 显然有 `\RHS\geqslant2n(a^{2n-2}b^2+a^2b^{2n-2})\geqslant4na^nb^n>\LHS`，右边得证；

再证左边，等价于
\[(2a^n+b^n)(a^n+2b^n)\geqslant9\left(\frac{a^2+b^2}2\right)^n,\]
令 `a^n=x`, `b^n=y`，变成
\[(2x+y)(x+2y)\geqslant9\left(\frac{x^{2/n}+y^{2/n}}2\right)^n,\]
由于幂平均值关于指数单调增，因此上式右边关于 `n` 递减，所以只需证明 `n=3` 的情形即可，此时由
\begin{align*}
&(2a^3+b^3)(a^3+2b^3)-9\left(\frac{a^2+b^2}2\right)^3\\
={}&\frac18(a-b)^2(7a^4+14a^3b-6a^2b^2+14ab^3+7b^4)\geqslant0,
\end{align*}
可知 `n=3` 时成立，即得证。

kuing

关于下式
\[(2a^n+b^n)(a^n+2b^n)\geqslant9\left(\frac{a^2+b^2}2\right)^n,\]
如果允许 `n` 取正实数，则还可以更小一点，可以证明 `n=9/4` 仍然成立，猜想这是最小值。

当 `n=9/4` 时，换元后等价于证明
\[(2a^9+b^9)^4(a^9+2b^9)^4\geqslant 9^4\left(\frac{a^8+b^8}2\right)^9,\]
开挂分解可知上式左减右分解为
\[\frac1{512}(a-b)^4\cdot M\geqslant0,\]
其中 `M = 1631 a^{68}` + `6524 a^{67} b` + `16310 a^{66} b^2` + `32620 a^{65} b^3` + `57085 a^{64} b^4` + `91336 a^{63} b^5` + `137004 a^{62} b^6` + `195720 a^{61} b^7` + `210066 a^{60} b^8` + `204544 a^{59} b^9` + `203656 a^{58} b^{10}` + `231904 a^{57} b^{11}` + `313790 a^{56} b^{12}` + `473816 a^{55} b^{13}` + `736484 a^{54} b^{14}` + `1126296 a^{53} b^{15}` + `1431558 a^{52} b^{16}` + `1440576 a^{51} b^{17}` + `1281624 a^{50} b^{18}` + `1082976 a^{49} b^{19}` + `972906 a^{48} b^{20}` + `1079688 a^{47} b^{21}` + `1531596 a^{46} b^{22}` + `2456904 a^{45} b^{23}` + `3432762 a^{44} b^{24}` + `4036320 a^{43} b^{25}` + `3844728 a^{42} b^{26}` + `3192896 a^{41} b^{27}` + `2415734 a^{40} b^{28}` + `1848152 a^{39} b^{29}` + `1825060 a^{38} b^{30}` + `2681368 a^{37} b^{31}` + `3925300 a^{36} b^{32}` + `5065080 a^{35} b^{33}` + `5608932 a^{34} b^{34}` + `5065080 a^{33} b^{35}` + `3925300 a^{32} b^{36}` + `2681368 a^{31} b^{37}` + `1825060 a^{30} b^{38}` + `1848152 a^{29} b^{39}` + `2415734 a^{28} b^{40}` + `3192896 a^{27} b^{41}` + `3844728 a^{26} b^{42}` + `4036320 a^{25} b^{43}` + `3432762 a^{24} b^{44}` + `2456904 a^{23} b^{45}` + `1531596 a^{22} b^{46}` + `1079688 a^{21} b^{47}` + `972906 a^{20} b^{48}` + `1082976 a^{19} b^{49}` + `1281624 a^{18} b^{50}` + `1440576 a^{17} b^{51}` + `1431558 a^{16} b^{52}` + `1126296 a^{15} b^{53}` + `736484 a^{14} b^{54}` + `473816 a^{13} b^{55}` + `313790 a^{12} b^{56}` + `231904 a^{11} b^{57}` + `203656 a^{10} b^{58}` + `204544 a^9 b^{59}` + `210066 a^8 b^{60}` + `195720 a^7 b^{61}` + `137004 a^6 b^{62}` + `91336 a^5 b^{63}` + `57085 a^4 b^{64}` + `32620 a^3 b^{65}` + `16310 a^2 b^{66}` + `6524 a b^{67}` + `1631 b^{68}`，
经查找，`M` 里面一个减号都没有，所以不等式成立

lemondian

kuing 发表于 2023-11-21 15:43
关于下式
\[(2a^n+b^n)(a^n+2b^n)\geqslant9\left(\frac{a^2+b^2}2\right)^n,\]
如果允许 `n` 取正实数，则 ...

还有：写写（1）的证明呗

kuing

令 `b=1`, `a^n=x` 以及
\[f(x)=(2x+1)(x+2)-9\left(\frac{x^{2/n}+1}2\right)^n,\]
经求导计算有
\[f(1)=f'(1)=0,\,f''(1)=4-\frac9n,\]
那么如果 `0<n<9/4`，则 `f''(1)<0`，这将使得 `f(x)` 在 `x=1` 的某邻域内的函数值为负，所以此时原不等式不成立，因此 3# 的指数 `n=9/4` 的确是最佳的。