两个特别紧的不等式

ljh25252

\[x,y>0\]
\[1.\frac{x^y+y^x}{2}\geq\frac{2xy}{x+y}\]
\[2.\dfrac{x^{\frac{y+1}{2}}+y^{\frac{x+1}{2}}}{2}\geq\sqrt{xy}\geq\frac{2xy}{x+y}\]
这对$x,y$在$1$的同一侧是显然的,希望有对$0<x<1<y$或$0<y<1<x$的情况证明

kuing

第二个左边写成
\[\frac{x^{y^2}}y+\frac{y^{x^2}}x\geqslant2\]感觉更好看

都太紧了，我功力不够硬，搞不来呀

ljh25252

多元的情形
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大佬最帅

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⒈见zhihu.com/question/489824366．