记录一个奇妙的恒等式

O-17

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kuing

我也来扯几句：

首先记 `p=m+n`, `q=m-n`，则可将 `2m^3+2n^3+6mn-27` 整理为
\[\frac12(p-3)(p^2+6p+18)+\frac32(p-1)q^2,\quad(*)\]
此时可以先由条件易知 `p>1`，然后由 `q^2\geqslant0` 立得 `p\leqslant3`。

若是想装X，可将后面的 `(p-1)` 写成 `(p-3+2)` 整合到前面，得到
\[2m^3+2n^3+6mn-27=\frac12(p-3)(p^2+6p+18+3q^2)+3q^2,\]
因此
\[p-3=\frac{2m^3+2n^3+6mn-27-3q^2}{\frac12(p^2+6p+18+3q^2)},\]
代回 `p=m+n`, `q=m-n` 就是 1# 最后的那恒等式。

至于下界方面，也可由 `q^2<p^2` 代入式 (*) 化简得到 `2p^3-27>0`。
不过其实这里没必要再用式 (*) 了，因为直接由 `m^3+n^3=(m+n)^3-3mn(m+n)` 就能将条件写成 `2(m+n)^3-6mn(m+n-1)=27`，然后 `mn>0`, `m+n>1` 即得 `2(m+n)^3>27`。

O-17

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isee

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源自知乎提问

题：已知正实数 m，n 满足 $2m^3+2n^3+6mn=27$ ，则 $m+n$ 的取值范围为_____.

三次方，如果想往几何上靠怕是没戏，朴素的令 $m+n=x$ ，则条件化为 \begin{gather*}
2m^3+2(x-m)^3+6m(x-m)-27=0\\[1ex]
6(x-1)m^2-6(x^2-x)m+2x^3-27=0,\tag{01}
\end{gather*} 没有感情的暴力计算判别式 \[36x^2(x-1)^2-24(x-1)(2x^3-27)\geqslant 0,\] 先提公因式 $(x-1)$ ，无聊化简分解因式，整理为 \[(x-1)(x-3)(x^2+6x+18)\leqslant 0\iff 1\leqslant x\leqslant 3,\] $x\ne1$ ，否则 $(01)$ 式不成立.

再算算边界 $m=0$ ，则 \[m+n=\sqrt[3]\frac{27}{2}>1,\] 填 $m+n\in\big(\sqrt[3]{27/2},3\big]$ ，闪，不管了……

又想了一下，有 \[2(m+n)^3=2m^3+2n^3+6mn(m+n)>2m^3+2n^3+6mn=27.\]

isee

kuing 发表于 2023-10-7 14:53

这里是常规的三次处理，但我不记得了，虽然常规但有参考意义，哈哈哈