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源自知乎提问
题：已知正实数 $a+2b=1$，证明： $a+b+\frac 9{125ab}\geqslant \frac {13}{10}.$
首先这题挺难的，其次数据一定是设计好的.
取待定正实数 $\lambda>0$ 则有
\begin{align*}
&\quad\;a+b+\frac{9}{125ab}\\[1em] &=a+b+\frac{9}{125ab}+\lambda(a+2b-1)\\[1em] &=(\lambda+1) a+(2\lambda +1)b+\frac{9}{125ab}-\lambda\\[1em] &\geqslant 3\sqrt[3]{(\lambda+1) a\cdot (2\lambda +1)b\cdot \frac{9}{125ab}}-\lambda\\[1em] &=\frac 35\sqrt[3]{9(\lambda+1) (2\lambda +1)}-\lambda.
\end{align*}
取“ $=$ ”时， $(\lambda+1) a=(2\lambda +1)b=\frac{9}{125ab}$
即 $a=\frac{2\lambda+1}{\lambda+1}b,\;(2\lambda+1)ab^2=\frac 9{125},$
又由 $a+2b=1$ 得 $b=\frac{\lambda+1}{4\lambda+3}$，
从而 $\frac{(2\lambda+1)^2}{\lambda+1}\left(\frac{\lambda+1}{4\lambda+3}\right)^3=\frac 9{125},$
即 $\frac{(2\lambda +1)^2(\lambda+1)^2}{(4\lambda+3)^3}=\frac {3^2}{5^3},$ 于是猜测 $\left\{\begin{aligned}(2\lambda+1)(\lambda+1)&=3,\\4\lambda+3&=5,\end{aligned}\right.$ (幸运)解得 $\lambda=\frac 12$，于是
\begin{align*}
&\quad\;a+b+\frac{9}{125ab}\\[1em] &\geqslant \frac 35\sqrt[3]{9(\lambda+1) (2\lambda +1)}-\lambda\\[1em] &=\frac 35\sqrt[3]{9\cdot 3}-\frac 12\\[1em] &=\frac {13}{10}.
\end{align*}
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kuing
发表于 2022-8-9 20:44
